Родился 2 февраля 1966 г. в Челябинске.
В 1991 г. окончил Челябинский государственный институт физической культуры (ныне - Уральский государственный университет физической культуры; УралГУФК) по специальности "физическая культура и спорт", в 2004 г. - Уральскую академию государственной службы по специальности "государственное и муниципальное управление".
Кандидат педагогических наук. В 2010 г. в УралГУФК защитил диссертацию на тему "Развитие готовности студентов вуза физической культуры к воспитанию волевых качеств юных спортсменов".
Занимался тяжелой атлетикой, был призером российских соревнований.
С 1986 г. - водитель автобазы №1 Металлургического района Челябинска.
После окончания института работал тренером в Центральном клубе Челябметаллургстроя (ныне - Дворец культуры строителей).
В 1998 г. основал в Металлургическом районе Челябинска общественный фонд "Соцгород" (в позднее преобразовано в областное общественное движение "Соцгород"). Является председателем совета движения. В 2007 г. "Соцгород" стал победителем конкурса государственной поддержки некоммерческих неправительственных организаций, реализующих проекты в сфере защиты социально незащищенных граждан.
В 1999 г. возглавил телецентр "Метар", учрежденный администрацией Металлургического района Челябинска. В 2004 г. "Метар" был объединен с телекомпанией "Инфо-ТВ" известного челябинского бизнесмена Александра Аристова в компанию "СТС-Челябинск".
С 2000 по 2009 г. - депутат Челябинской городской думы, избирался по Металлургическому округу. В 2001-2005 гг. был заместителем председателя постоянной комиссии по законности и городскому самоуправлению. С 2005 г. возглавлял постоянную комиссию по градостроительству и землепользованию.
В 2010 г. Андрей Барышев выкупил у Александра Аристова его долю телеканала "СТС-Челябинск" и стал единственным владельцем канала. Занял должность генерального директора ООО "Предприятие "Инфо-ТВ".
В октябре 2010 г. избран депутатом Законодательного собрания Челябинской области V созыва от партии "Единая Россия" по Металлургическому избирательному округу №16 (депутатские полномочия исполнял на непостоянной основе). Был заместителем председателя комитета по строительной политике, входил в комитет по экономической политике и предпринимательству.
В сентябре 2014 г. был избран в Совет депутатов Металлургического района Челябинска от регионального отделения "Единой России" и вошел в состав Челябинской городской думы первого созыва (согласно поправкам в регламент, дума с 2004 г. формировалась по новому принципу - из числа районных депутатов). Вновь возглавил в гордуме постоянную комиссию по градостроительству и землепользованию.
В 2016 г. выдвинул свою кандидатуру на внутрипартийное голосование (праймериз) "Единой России" в преддверии выборов в Госдуму РФ. Его основным соперником в дебатах по Челябинскому одномандатному округу №189 должен был стать экс-губернатор области Михаил Юревич, однако тот отказался от участия в праймериз.
В 2016-2021 гг. - депутат Государственной думы РФ VII созыва от "Единой России". Был избран 18 сентября 2016 г. по Челябинскому одномандатному избирательному округу №189 (Челябинская область). По итогам голосования набрал 39,37%, второе место в округе заняла предприниматель Гузелия Волошина от "Справедливой России" - 20,08%. В Думе Андрей Барышев вошел в состав партийной фракции.
Учредитель общественной организации "Комитет народного контроля" Челябинска, председатель городского отделения Челябинской региональной общественной организации "Комитет по борьбе с коррупцией".
Член попечительского совета Федерации каратэ, вице-президент мотоциклетной федерации Челябинской области, председатель совета челябинской федерации хоккея и хоккея на валенках.
В 2007 г. награжден медалью "Национальное достояние" Международного благотворительного фонда "Меценаты столетия" в номинации "за благородство помыслов и дел".
Мастер спорта по тяжелой атлетике.