Родился 21 февраля 1957 г. пос. Нарышкино Урицкого района Орловской области.
В 1977 г. окончил Московское высшее командное училище дорожных и инженерных войск (ныне - Военно-технический университет), в 1993 г. – Военную академию тыла и транспорта им. А.В. Хрулева, в 1999 г. - Российскую академию государственной службы при Президенте РФ.
Доктор экономических наук. В 2008 г. в Институте проблем региональной экономики РАН (Санкт-Петербург) защитил диссертацию на тему "Теория и методология государственного управления инвестиционной деятельностью".
На военной службе с 1974 г. После окончания училища в 1977 г. был назначен командиром аварийно-технического взвода.
В начале 1990-х гг. был начальника штаба - заместителем командира полка в войсках Гражданской обороны СССР. С 1992 г. командовал 198-м отдельным механизированным полком гражданской обороны Ленинградского военного округа.
В 1995 г. перешел в систему МЧС России. Возглавлял отдел тыла и материальных ресурсов, занимал должность заместителя начальника центра по тылу - начальника тыла Центрального регионального центра МЧС России.
В 1999-2003 гг. - заместитель начальника Департамента войск и спасательных формирований по материально-техническому обеспечению и вооружению МЧС, с 2003 г. директор Департамента материально-технического обеспечения и вооружения, с 2004 г. по 2008 г. - Департамента тыла и вооружения МЧС России.
С 24 марта 2008 г. заместитель министра РФ по делам гражданской обороны, чрезвычайным ситуациям и ликвидации последствий стихийных бедствий Сергея Шойгу. С 10 августа 2012 г. по 25 июля 2013 г. - первый заместитель главы МЧС России Владимира Пучкова.
С 25 июля 2013 г. занимал должность директора Федерального агентства специального строительства (Спецстрой России). Сменил на этом посту Григория Нагинского. 29 декабря 2016 г. указом президента РФ Владимира Путина Спецстрой России был упразднен (мероприятия по ликвидации ведомства продолжалась до 1 октября 2017 г.). По данным СМИ, Александр Волосов был освобожден от должности главы агентства закрытым указом президента РФ от 5 июля 2017 г.
Общая сумма декларированного годового дохода за 2014 г. составила 9 млн 460 тыс. руб. Доходы жены в декларации не указаны.
Генерал-майор.
Действительный государственный советник РФ 1-го класса (2011).
Награжден орденами "Знак Почета", "За военные заслуги", медалью "За боевые заслуги".
Женат, имеет двоих детей. Сын, Кирилл (род. 1982), начальник финансово-экономического управления (главный бухгалтер) Главного управления МЧС России по г. Санкт-Петербургу.