Родился 11 августа 1964 г. в г. Челябинске.
В 1987 г. окончил педиатрический факультет Челябинского государственного медицинского института (ныне - Южно-Уральский государственный медицинский университет), в 2006 г. - юридический факультет Российской академии государственной службы при президенте РФ (ныне - Российская академия народного хозяйства и государственной службы при президенте РФ).
Кандидат медицинских наук. В 2004 г. в Федеральном научном центре гигиены им. Ф. Ф. Эрисмана защитил диссертацию на тему "Медико-гигиенические основы формирования здорового образа жизни в РФ".
С 1986 по 1996 г. Александр Жаров работал врачом-анестезиологом и реаниматологом в городской клинической больнице № 1 г. Челябинска. В это же время был ассистентом кафедры патологической физиологии Челябинского государственного медицинского института.
В 1997 г. переехал в Москву, в 1997–1998 гг. работал обозревателем, затем заместителем главного редактора журнала "Семейный доктор. Практические советы по медицине".
С 1998 по 1999 г. - советник председателя правления Российского информационного агентства "Вести" (ранее - РИА "Новости"; ныне - МИА "Россия сегодня") Алексея Волина (ныне - заместитель министра цифрового развития, связи и массовых коммуникаций РФ).
Затем некоторое время работал в Департаменте правительственной информации Аппарата правительства РФ.
С 1999 по 2004 г. — пресс-секретарь министра здравоохранения РФ Юрия Шевченко.
В 2001–2005 гг. Александр Жаров вел на телеканале РТР (ныне - "Россия-1") программу "Здоровье и жизнь" (с 2002 г. - "Студия "Здоровье").
С марта 2004 г. по март 2006 г. - референт, пресс-секретарь председателя правительства РФ Михаила Фрадкова.
С марта 2006 г. по октябрь 2007 г. занимал должность заместителя генерального директора Всероссийской государственной телевизионной и радиовещательной компании (ВГТРК) Олега Добродеева. Отвечал за связи с общественными организациями и госорганами.
С 8 октября 2007 г. по 12 июня 2008 г. - директор Департамента пресс-службы, информации и протокола правительства РФ. Данное подразделение было создано в структуре Аппарата правительства в результате вывода пресс-службы из сферы ответственности Департамента массовых коммуникаций, культуры и образования и объединения ее со службой протокола.
С 12 июня 2008 г. по 3 мая 2012 г. - заместитель министра связи и массовых коммуникаций РФ Игоря Щёголева.
В начале 2010-х гг. Александр Жаров был членом совета директоров Первого канала.
С 3 мая 2012 г. по 23 марта 2020 г. являлся руководителем Федеральной службы по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор). Сменил на этом посту Сергея Ситникова.
Вскоре после назначения Александра Жарова на пост руководителя Роскомнадзора это ведомство стало отвечать за ведение Единого реестра запрещенных сайтов в сети Интернет. Помимо внесения в этот реестр ресурсов по решениям других ведомств (судов, МВД, Роспотребнадзора и др.), Роскомнадзор получил полномочия по блокировке сайтов с детской порнографией, нарушителей закона о персональных данных, а также мессенджеров, которые отказываются предоставлять данные в рамках т. н. пакета Яровой. Наиболее резонансными блокировками, сделанными Роскомнадзором при Жарове, был сервис Telegram ("Телеграм") и соцсеть для публикации резюме, поиска и установления деловых контактов LinkedIn ("Линкд-ин"). В 2019 г., в связи с вступлением в силу закона о надежном (безопасном) Рунете, полномочия ведомства были расширены. Роскомнадзор получил право определять маршрутизацию трафика российских операторов и контролировать их соблюдение.
С 24 марта 2020 г. - генеральный директор холдинга "Газпром-медиа".
Был членом Совета при президенте по делам казачества (с ноября 2019 г. по май 2020 г.).
Член наблюдательного совета АНО "Институт развития интернета".
Сумма декларированного дохода за 2014 г. составила 4 млн 726 тыс. руб., у супруги - 19 млн 772 тыс. руб.
Сумма декларированного дохода за 2016 г. составила 5 млн 535 тыс. руб., супруги - 39 млн 79 тыс. руб.
Сумма декларированного дохода за 2018 г. составила 6 млн 359 тыс. руб., супруги - 3 млн 927 тыс. руб.
Действительный государственный советник РФ I класса (2008).
Награжден орденами Почета (2010), "За заслуги перед Отечеством" IV степени (2014). Отмечен благодарностью президента РФ (2008).
Владеет английским и французским языками.
Женат, шестеро детей. Супруга - Евгения Анатольевна (род. 1974).