Родился 10 марта 1926 г. в Новосибирске. Его отец, хирург Сергей Дмитриевич Зацепин, в 1941 г. был арестован по доносу за "контрреволюционную деятельность", приговорен к 10 годам лишения свободы. После освобождения в семью не вернулся. Мать - Валентина Болеславовна Оксентович - работала преподавателем русского языка и литературы, воспитывала сына одна.
Во время учебы в старших классах средней школы Александр Зацепин окончил курсы киномехаников, трактористов, увлекался радиотехникой, посещал секцию гимнастики. Учился игре на фортепиано, организовал небольшой джаз-оркестр.
После окончания школы он поступил в Новосибирский институт инженеров железнодорожного транспорта (ныне Сибирский государственный университет путей сообщения), но в марте 1945 г. его исключили из вуза за неуспеваемость. В том же году был призван на воинскую службу и направлен в Тюменское пехотное училище (ныне Тюменское высшее военно-инженерное командное училище им. маршала инженерных войск А. И. Прошлякова).
В студенческие и армейские годы Александр Зацепин освоил игру на трубе, тромбоне, затем аккордеоне, балалайке и кларнете. Участвовал в самодеятельности, работал механиком в клубе офицеров в Тюмени. В 1946 г. был переведен в Ансамбль песни и пляски Новосибирского военного округа.
После окончания службы в 1947 г. поступил в Алма-Атинскую консерваторию (ныне Казахская национальная консерватория им. Курмангазы), обучался по классам фортепиано и композиции. Дипломной работой Александра Зацепина в 1956 г. стал балет "Старик Хоттабыч", который в течение нескольких лет шел в Казахском государственном академическом театре оперы и балета им. Абая.
В 1956 г. стал членом Союза композиторов, в 1957 г. - Союза кинематографистов СССР.
После окончания консерватории устроился музыкальным оформителем на киностудию "Казахфильм". Вскоре написал музыку к комедии Шакена Айманова "Наш милый доктор" (1957). Песня "Надо мной небо синее, облака лебединые..." принесла композитору первую известность.
В 1958 г. Александр Зацепин переехал в Москву, где познакомился с кинорежиссером Леонидом Гайдаем. В 1965 г. на экраны вышел его фильм "Операция "Ы" и другие приключения Шурика" с музыкой Зацепина. Картина получила большую популярность у зрителей. В дальнейшем композитор сотрудничал с Гайдаем при создании почти всех его комедий ("Кавказская пленница", "Бриллиантовая рука", "Двенадцать стульев", "Не может быть!", "Иван Васильевич меняет профессию" и др.). Песни для этих фильмов были написаны Зацепиным вместе с поэтом Леонидом Дербеневым. За 30 лет совместной работы (Леонид Дербенев скончался в 1995 г.) этот творческий тандем создал около 100 песен, в числе которых "Постой, паровоз", "Песенка про медведей", "Остров невезения", "Песня про зайцев", "Губит людей не пиво...", "Есть только миг", "Ищу тебя". Также Александр Зацепин писал музыку на стихи других известных советских поэтов-песенников, в т. ч. Юрия Энтина и Игоря Шаферана. С 1990-х гг. работает с Юрием Рогозиным.
В 1970-х гг. Александр Зацепин написал несколько песен для Аллы Пугачевой, которая в те годы начинала свою сольную карьеру ("До свиданья, лето", "Любовь одна виновата", "Волшебник-недоучка", "Этот мир придуман не нами", "Куда уходит детство?" и др.). В 1977 г. они вместе работали над музыкальным фильмом "Женщина, которая поет". Первый сольный альбом Аллы Пугачевой "Зеркало души", вышедший в 1978 г., состоял преимущественно из композиций Александра Зацепина (общий тираж с учетом всех переизданий - около 10 млн).
Песни композитора в свой репертуар включали другие известные исполнители и актеры: Валерий Ободзинский, Майя Кристалинская, Аида Ведищева, Олег Даль, Андрей Миронов, Олег Анофриев, Татьяна Анциферова, Лариса Долина, Иосиф Кобзон, София Ротару. Всего он написал более 300 песен и романсов.
Александр Зацепин является автором музыки к более чем 100 фильмам. Среди них: художественные картины "Красная палатка" (1969, режиссер Михаил Калатозов), "Земля Санникова" (1973, Альберт Мкртчян и Леонид Попов), "Капитан Немо" (1975, Василий Левин), "За спичками" (1980, Леонид Гайдай), "Остров погибших кораблей" (1987, Евгений Гинзбург и Рауф Мамедов), "На Дерибасовской хорошая погода, или На Брайтон-Бич опять идут дожди" (1992, Леонид Гайдай), мультипликационные "Фильм, фильм, фильм" (1967, Федор Хитрук), "Ну, погоди!" (1971, 2-й выпуск, Вячеслав Котеночкин), "Тайна третьей планеты" (1980, Роман Качанов). Также написал несколько мюзиклов ("Золотые ключи", "Русское Рождество в Париже" и др.), музыку к спектаклям ("Слуга двух господ", "Наследники" и др.), создал ряд инструментальных произведений (сюиты, струнный квартет, прелюдии для фортепиано).
31 декабря 1978 г. на телеэкраны вышел фильм-мюзикл режиссера Леонида Квинихидзе "31 июня" с музыкой Александра Зацепина. Все песни к картине были записаны у композитора в его домашней студии. Однако после успешной премьеры фильм оказался под запретом на семь лет из-за того, что исполнитель одной из ролей, танцовщик Большого театра Александр Годунов, попросил политического убежища в США. Была запрещена и авторская пластинка Александра Зацепина "Дело не в погоде", а из фильма "Двенадцать стульев" была вырезана песня композитора "Полосатая жизнь" на стихи Леонида Дербенева.
В результате Александр Зацепин принял решение переехать за границу. В 1982 г. он женился на француженке Женевьев Прешак и уехал в Париж, гражданство не менял. Однако творческая карьера за рубежом у композитора не сложилась. Кроме того, он был исключен из Московского отделения Союза композиторов СССР. В 1986 г., после развода, вернулся в Москву.
В настоящее время Александр Зацепин проживает во Франции. Среди его работ последнего времени - музыка для российского мультсериала "Оранжевая корова" и спектакля Государственного академического центрального театра кукол им. С. В. Образцова "Барон Мюнхгаузен".
Автор книг "Есть только миг..." (2003) и "…Миг между прошлым и будущим" (2017).
Член Национальной академии кинематографических искусств и наук России.
Заслуженный деятель искусств России (1997). Народный артист РФ (2003).
Награжден орденом "За заслуги перед Отечеством" IV степени (2011), медалью "За трудовое отличие" (1959).
Александр Зацепин был четырежды женат. Первая супруга - актриса Ревмира Соколова (1927-2008), в 1951 г. у них родился сын Евгений (умер в 1975 г.). Вторая жена - пианистка Светлана Третьякова (скончалась в 1981 г.), дочь - Елена (род. 1956). Третья супруга - Женевьев Прешак. Четвертой женой была пианистка, педагог Московской консерватории Светлана Морозовская (скончалась в 2014 г.).