Родился 2 января 1981 г. в г. Южно-Сахалинске Сахалинской области. Среднюю школу окончил в г. Райчихинске Амурской области.
В 2003 г. окончил Благовещенский филиал Московской академии предпринимательства при правительстве Москвы по специальности "юриспруденция", получив квалификацию "юрист". Учился в Дальневосточном федеральном университете по специальности "горный инженер".
В 2000-2007 гг. работал в ООО "Амурский уголь" (г. Райчихинск, Амурская область), дочерней компании холдинга "Русский уголь". Занимал должности ведущего юрисконсульта, и. о. помощника генерального директора по юридическим вопросам, руководителя юридического отдела и департамента, заместителя гендиректора по правовым вопросам и корпоративной безопасности.
В 2007 г. был назначен директором филиала компании "Русский уголь" в г. Гукове (Ростовская область).
В 2008 г. Александр Козлов возглавил филиал компании "Русский уголь" в г. Благовещенске (Амурская область).
В 2009-2010 гг. занимал должность генерального директора ООО "Амурский уголь" в г. Райчихинске.
В 2011 г. перешел на госслужбу в правительство Амурской области по приглашению губернатора региона Олега Кожемяко. 2 февраля 2011 г. Александр Козлов был назначен первым заместителем министра строительства, архитектуры и жилищно-коммунального хозяйства Амурской области. В августе того же года стал исполняющим обязанности министра. 23 декабря 2011 г., после разделения областного ведомства на две самостоятельные структуры, возглавил министерство жилищно-коммунального хозяйства.
14 февраля 2014 г. занял должность первого заместителя главы администрации г. Благовещенска. С 20 февраля того же года, после отставки главы города Павла Березовского, исполнял обязанности руководителя городской администрации.
В апреле 2014 г. стал победителем предварительного внутрипартийного голосования (праймериз) партии "Единая Россия" по отбору кандидатов на пост главы г. Благовещенска.
В 2014-2015 гг. - мэр Благовещенска. 14 сентября 2014 г. Александр Козлов одержал победу на выборах главы города, за него проголосовали 38,68% избирателей (был выдвинут партией "Единая Россия"). Его ближайший соперник, кандидат от КПРФ Татьяна Ракутина, набрала 16,97%. 19 сентября того же года Александр Козлов официально вступил в должность главы города.
В 2015-2018 гг. - губернатор Амурской области. 25 марта 2015 г. указом президента РФ Владимира Путина Александр Козлов был назначен врио губернатора Амурской области. Прежний руководитель региона Олег Кожемяко в тот же день возглавил Сахалинскую область вместо Александра Хорошавина, отправленного в отставку в связи с утратой доверия главы государства.
13 сентября 2015 г. на досрочных выборах Александр Козлов был избран губернатором Амурской области, за него проголосовали 50,64% избирателей (баллотировался от "Единой России"). Его основной конкурент, кандидат от ЛДПР Иван Абрамов, получил 28,30%. 20 сентября того же года состоялась инаугурация избранного главы региона. Александр Козлов стал одним из самых молодых руководителей российских регионов.
18 сентября 2016 г. Александр Козлов участвовал в выборах депутатов Законодательного собрания Амурской области VII созыва. Возглавлял список регионального отделения партии "Единая Россия". После выборов отказался от места в заксобрании.
С 18 мая 2018 г. по 9 ноября 2020 г. - министр РФ по развитию Дальнего Востока (с 26 февраля 2019 г. - Дальнего Востока и Арктики) в правительствах Дмитрия Медведева (2018-2020) и Михаила Мишустина (с января 2020 г.). Сменил на этом посту Александра Галушку. 26 февраля 2019 г. ведомству были переданы дополнительные полномочия по развитию Арктической зоны РФ.
С 10 ноября 2020 г. - министр природных ресурсов и экологии РФ в правительстве Михаила Мишустина. Назначен указом президента РФ после утверждения Госдумой (за кандидатуру Александра Козлова проголосовали 273 депутата, 54 воздержались, голосовавших против не было). Сменил во главе ведомства Дмитрия Кобылкина.
Член совета директоров госкомпании "Росгеология" (с июля 2023 г.).
Входил в политический совет Амурского регионального отделения партии "Единая Россия".