Родился 1 января 1966 г. в с. Константиновка Малмыжского района Кировской обл. в семье рабочего.
В 1987 г. с отличием окончил Рязанское высшее воздушно-десантное командное дважды краснознаменное училище им. Ленинского комсомола (ныне - Рязанское высшее воздушно-десантное командное ордена Суворова дважды краснознаменное училище им. генерала армии В. Ф. Маргелова). Также окончил Военную орденов Ленина и Октябрьской Революции краснознаменную ордена Суворова академию им. М. В. Фрунзе (2000) и Военную академию Генерального штаба ВС РФ (2011).
C 1987 г. служил в 104-м парашютно-десантном полку 76-й десантно-штурмовой Черниговской краснознаменной дивизии ВДВ (Псков).
В 1995 г. в должности начальника штаба батальона был командирован в Чеченскую Республику. В ходе боев в Грозном майор Асапов получил тяжелое ранение в ноги, перенес четыре операции.
С 2001 г. служил в частях ВДВ, входящих в состав миротворческих сил в Абхазии, был командиром 10-го отдельного парашютно-десантного полка. В апреле 2002 г. при обострении грузино-абхазского конфликта лично командовал группой десантников, высадившихся в Кодорском ущелье и восстановивших там наблюдательный пост российских миротворцев. Эта операция вызвала бурную реакцию грузинских политиков, на переговоры с подполковником Асаповым летал президент Грузии Эдуард Шеварднадзе.
В 2003 г. был назначен заместителем командира 98-й гвардейской воздушно-десантной Свирской краснознаменной ордена Кутузова II степени дивизии (Ивановская обл.), в 2005 г. стал начальником штаба этого соединения.
Зимой 2003-2004 гг. возглавлял группировку ВДВ в Чечне.
В мае 2007 г. полковник Асапов был переведен из ВДВ в Сухопутные войска и назначен командиром дислоцированной на Южных Курилах 18-й пулеметно-артиллерийской дивизии – единственного подобного соединения в Вооруженных силах РФ.
После окончания Академии Генштаба, в июне 2011 г. вернулся в Восточный военный округ (ВВО) и возглавил 37-ю отдельную гвардейскую Будапештскую краснознаменную ордена Красной Звезды мотострелковую бригаду (г. Кяхта, Бурятия) 36-й общевойсковой армии. Части и подразделения бригады получили высокую оценку по результатам международных учений "Селенга-2011", "Селенга-2012" (российско-монгольских), "Индра-2012" (российско-индийских).
В феврале 2013 г. был назначен заместителем командующего 5-й краснознаменной общевойсковой армией ВВО (штаб в Уссурийске, Приморский край). В мае 2013 г. получил звание генерал-майора.
С 2014 г. командовал 68-м армейским корпусом (штаб - Южно-Сахалинск).
16 октября 2016 г. Асапов вошел в список лиц, против которых решением Совета национальной безопасности и обороны Украины были введены персональные санкции.
С октября 2016 г. – командующий 5-й армией. Стал одним из немногих десантников в истории современной российской армии, возглавлявших общевойсковые объединения. Ранее 5-й армией командовали такие известные военачальники, как Анатолий Сидоров (2006-2008, ныне – генерал-полковник, начальник Объединенного штаба ОДКБ,), Александр Дворников (2008-2010, ныне – генерал-полковник, командующий войсками Южного военного округа) и Андрей Сердюков (2011-2013, ныне - генерал-полковник, командующий Воздушно-десантными войсками).
В 2017 г. – старший группы российских военных советников в Сирии. Был дважды ранен.
24 сентября 2017 г. стало известно, что Валерий Асапов погиб под Дейр-эз-Зором при попадании минометной мины в командный пункт.
Генерал-лейтенант (11 июня 2016 г.).
По имеющейся информации, Валерию Асапову посмертно присвоено звание Героя Российской Федерации. Был награжден орденами "За заслуги перед Отечеством" IV степени, Жукова, Мужества, "За военные заслуги", медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (с изображением мечей), медалью "За боевые заслуги" и др. наградами.