Родился 20 февраля 1959 г. в Краснодаре.
В 1982 г. окончил с отличием факультет молекулярной и химической физики Московского государственного физико-технического института (МФТИ). В 1985 г. - аспирантуру того же вуза.
Кандидат физико-математических наук. В 1985 г. защитил в МФТИ диссертацию на тему "Возбуждение лазерного излучения и электромагнитных колебаний волнами пробоя".
В 1985 г. стал заведующим лабораторией, а затем - коммерческого центра московского Института высоких температур Академии наук СССР (ныне - Объединенный институт высоких температур РАН). Также руководил исследовательским полигоном института в Дагестане, специализировался на технологиях энергосбережения, солнечной и ветроэнергетике.
В 1992 г. Александр Абрамов занялся бизнесом, стал одним из основателей и генеральным директором товарищества с ограниченной ответственностью "Евроазметалл" (впоследствии - "Группа ЕАМ"). Среди партнеров Абрамова в тот период были Владимир Катунин, Александр Фролов, а также Олег Бойко, создатель концерна "Олби" и банка "Национальный кредит". Первоначально компания была трейдером продукции российских металлургических предприятий, однако в середине 1990-х гг. начала активно скупать их долги и обменивать на акции заводов. Так, в 1995-2003 гг. группа получила крупные пакеты акций, а затем контроль над двумя металлургическими комбинатами в Новокузнецке (КМК и "Запсиб", Кемеровская обл.) и Нижнем Тагиле (НТМК, Свердловская обл.). Впоследствии консолидировала также пакеты ряда угледобывающих предприятий. В настоящее время помимо России имеет производства в США, Канаде, Италии, Чехии и Казахстане.
В 1999-2005 г. - президент "Евразхолдинга". После вывода акций компании на биржу Александр Абрамов стал президентом вертикально-интегрированной компании Evraz (первоначально была зарегистрирована в Люксембурге, c 2011 г. - в Лондоне). В 2005-2006 гг. и в 2008-2022 гг. - председатель совета директоров компании.
Член наблюдательного совета МФТИ, президент ассоциации его выпускников "Физтех-Союз". Член попечительского совета Фонда поддержки олимпийцев России.
Член бюро правления Российского союза промышленников и предпринимателей. Партнер-учредитель, член совета директоров московской бизнес-школы "Сколково".
Является членом попечительского совета и одним из основателей Фонда развития инновационного образования, занимающегося благотворительными программами в области образования.
Является собственником 20,69% акций "Евраза" (через офшор Abiglaze ltd, "Эбиглейз лтд"). Также, по данным "СПАРК-Интерфакс", владеет 67% акций подмосковного девелоперского проекта "Новопетровские земли".
Александр Абрамов с 2004 г. входит в список миллиардеров мира по версии американского журнала Forbes. Наивысшую позицию в списке, 65-ю, бизнесмен занимал перед мировым финансовым кризисом в 2008 г. (11,5 млрд долларов США). В рейтинге за 2018 г. Александр Абрамов занимал 372-е место в мире и 21-е - в России с состоянием в 5,2 млрд долларов.
Награжден орденом Дружбы (2015) и знаком отличия "За благодеяние" (2016).