Родился 13 мая 1970 г. в г. Трехгорный (Челябинская область). Его отец - Октябрин Васильевич - работал тренером по тяжелой атлетике в городской спортивной секции.
В 1993 г. Максим Агапитов окончил Московский энергетический институт по специальности "инженер-теплоэнергетик", в 2000 г. - Московскую государственную академию физической культуры по специальности "тренер силовых видов спорта".
В детстве занимался самбо, классической борьбой и лыжным спортом. В десятилетнем возрасте приступил к занятиям тяжелой атлетикой.
В 1990-х гг. Максим Агапитов тренировался в московском спортклубе "Подшипник" под руководством Геннадия Аниканова.
Двукратный чемпион России по тяжелой атлетике (1993, Санкт-Петербург, весовая категория до 90 кг; 1997, Москва, до 91 кг).
В 1997 г. в Чиангмае (Таиланд) стал чемпионом мира по тяжелой атлетике в весовой категории до 91 кг.
С 2005 г. Максим Агапитов выступал на ветеранских тяжелоатлетических соревнованиях. Является многократным чемпионом и рекордсменом мира по тяжелой атлетике среди ветеранов.
В 2010 г. вошел в состав исполкома Федерации тяжелой атлетики России (ФТАР).
В 2014-2016 гг. - вице-президент ФТАР. С сентября по ноябрь 2016 г. являлся исполняющим обязанности президента этой организации.
С 22 ноября 2016 г. по н. в. - президент Федерации тяжелой атлетики России.
С 2017 г. по н. в. Максим Агапитов является членом исполкома Международной федерации тяжелой атлетики, а также исполкома Всероссийской ассоциации летних олимпийских видов спорта.
С 2021 г. - первый вице-президент Европейской федерации тяжелой атлетики. В июне того же года стал исполняющим обязанности президента в связи с тем, что глава организации Хасан Аккус временно сложил с себя полномочия из-за обвинений со стороны Международного агентства допинг-тестирования в сокрытии нарушений антидопинговых правил.
Заслуженный мастер спорта РФ по тяжелой атлетике (1998).