Родился 2 апреля 1946 г. в городе Андижан Узбекской ССР (ныне Республика Узбекистан) в семье учителей.
В 1964 г. по окончании средней школы поступил в Андижанский государственный медицинский институт. В 1968 г. перевелся в Первый Московский медицинский институт (ныне Первый Московский государственный медицинский университет) им. И. М. Сеченова, который окончил в 1971 г.
Доктор медицинских наук. В 1978 г. защитил кандидатскую диссертацию на тему "Организация и показания к микрохирургической реплантации пальцев и кисти", в 1985 г. - докторскую диссертацию на тему "Реконструктивные операции беспалой кисти".
В 1991 г. ему было присвоено ученое звание профессора по специальности "сердечно-сосудистая хирургия".
В 1997 г. Ренат Акчурин был избран членом-корреспондентом, в 2000 г. - академиком Российской академии медицинских наук. В 2011 г. стал академиком Российской академии наук (РАН) по Отделению физиологии и фундаментальной медицины. В настоящее время - член Отделения медицинских наук РАН (секция клинической медицины).
С августа 1971 г. по сентябрь 1972 г. - участковый врач-терапевт, в 1972-1973 гг. - врач-травматолог Реутовской городской больницы (г. Реутов, Московская обл.).
По совместительству работал хирургом в Городской клинической больнице №70 (ныне ГКБ им. Е. О. Мухина) г. Москвы и травматологом в Балашихинской районной больнице Московской области.
В 1973-1975 гг. обучался в клинической ординатуре по хирургии Всесоюзного научно-исследовательского института (ВНИИ) клинической и экспериментальной хирургии Минздрава СССР, который возглавлял академик Борис Петровский.
С 1975 г. - младший, в 1978-1980 гг. - старший научный сотрудник отделения микрохирургии сосудов, в 1980-1984 гг. - старший научный сотрудник отделения экстренной микрохирургии ВНИИ клинической и экспериментальной хирургии (впоследствии Всесоюзный научный центр хирургии, ныне Российский научный центр хирургии им. академика Б. В. Петровского). Работая в отделении микрохирургии, которое действовало на базе Московской городской больницы №51, Ренат Акчурин участвовал в разработке первых в СССР операций по реплантации кисти, пересадке пальцев стопы на кисть и др.
В 1984 г. по предложению директора Всесоюзного кардиологического научного центра Академии медицинских наук СССР (ВКНЦ АМН СССР) академика Евгения Чазова Ренат Акчурин стал специализироваться в области кардиохирургии. Прошел стажировку в клинике американского кардиохирурга Майкла Дебейки в Хьюстоне (штат Техас, США).
После возвращения из США, в 1984 г. Акчурин был назначен руководителем отдела сердечно-сосудистой хирургии Института клинической кардиологии им. А. Л. Мясникова, действующего в составе ВКНЦ АМН СССР (впоследствии Российский кардиологический научно-производственный комплекс, ныне Национальный медицинский исследовательский центр кардиологии Минздрава РФ). С тех пор возглавляет отдел.
В ноябре 1996 г. руководил бригадой хирургов, успешно сделавших кардиологическую операцию аорто-коронарного шунтирования президенту России Борису Ельцину.
Одновременно с 2009 г. Ренат Акчурин был заместителем директора Российского кардиологического научно-производственного комплекса Евгения Чазова (возглавлял комплекс до 2015 г., ныне почетный директор). Затем в течение двух лет кардиоцентр Чазова возглавляла его дочь - доктор медицинских наук Ирина Чазова, и Акчурин был ее заместителем. С 2017 г. является заместителем генерального директора по хирургии Национального медицинского исследовательского центра кардиологии (современное название кардиоцентра) Сергея Бойцова.
Является президентом Российского общества ангиологов и сосудистых хирургов, заместителем главного редактора журнала "Ангиология и сосудистая хирургия".
Ренат Акчурин как специалист в области микрохирургии и врач-кардиохирург внес значительный вклад в развитие восстановительной микрохирургии сосудов, реконструктивной и пластической хирургии конечностей, микрохирургии коронарных артерий, хирургического лечения ишемической болезни сердца и аритмий сердца, лазерной ангиопластики, трансплантации сердца и др. областей хирургии.
Разработал основные принципы коронарной микрохирургии и обосновал необходимость их внедрения в широкую медицинскую практику. Работая в кардиоцентре Евгения Чазова, Ренат Акчурин впервые в Европе внедрил операционный микроскоп и микрохирургическую технику в коронарную хирургию, микрохирургические операции на ветвях почечных артерий, позвоночных артериях. Создал отечественную школу коронарной микрохирургии.
Был инициатором и одним из основных разработчиков федеральной программы "Медицина высоких технологий" (1998).
Принимал участие в организации факультета фундаментальной медицины (был образован в 1992 г.) и создании медицинского научно-образовательного центра (открылся в 2008 г.) Московского государственного университета (МГУ) им. М. В. Ломоносова.
Автор и соавтор более 450 научных работ по различным вопросом медицины. Среди них - "Реконструктивная микрохирургия беспалой кисти" (1984), "Болезни сердца и сосудов. Руководство для врачей" (1992), "Электронная монополярная желудочковая стимуляция сердца. Диагностика осложнений. Практические рекомендации" (1997), "Актуальные проблемы коронарной хирургии" (2004) и др.
Член ряда международных научных обществ, в т. ч. Международного хирургического общества им. М. Дебейки (в 2004-2006 гг. был его президентом).
Почетный профессор МГУ им. М. В. Ломоносова (2004) и Российского научного центра хирургии им. академика Б. В. Петровского (2009).
Награжден орденами Почета (1996), Дружбы (2016), "За заслуги перед Отечеством" IV степени (2021). Имеет Почетную грамоту правительства РФ (1996).
Командор ордена Заслуг Перу (2000, за работу в составе бригады врачей, связанной с ликвидацией последствий землетрясения в стране).
Лауреат Государственной премии СССР (1982, "за разработку проблем микрохирургической реплантации пальцев кисти при их травматической ампутации"), Государственной премии РФ 2001 г. в области науки и техники (как соавтор работы "Хирургическое лечение сочетанных сердечно-сосудистых и онкологических заболеваний"), премии правительства РФ 2004 г. в области науки и техники ("за разработку, организацию производства и внедрение в медицинскую практику аппаратного вакуумного переносного комплекса для операций аортокоронарного шунтирования на работающем сердце "Космея").
В число его наград также входит Большая золотая медаль им. Н. И. Пирогова РАН (2018, за фундаментальные и прикладные исследования в области кардиохирургии и микрохирургии).
Женат. Супруга Наталья Павловна Акчурина - врач-офтальмолог, работает в детском консультативно-поликлиническом отделении Национального медицинского исследовательского центра глазных болезней им. Гельмгольца (Москва). Сын Максим - предприниматель.