Родился 1 марта 1970 г. в г. Малоярославце Калужской области.
В 1994 г. окончил исторический факультет Калужского государственного педагогического университета (ныне - Калужский государственный университет) им. К. Э. Циолковского.
Служил в Вооруженных силах СССР.
В 1991-1992 г. работал учителем истории, географии и английского языка в средней школе г. Малоярославца.
В 1993 г. занимал должность ведущего специалиста юридического отдела Фонда имущества Калужской области.
В 1994-1996 гг. - руководитель компании "Файнарт-аудит".
С 1996 по 1997 г. возглавлял региональную комиссию по рынку ценных бумаг Калужской области.
В 1997-2001 гг. - заместитель директора департамента экономики и промышленности правительства Калужской области.
В 2001-2004 гг. - первый заместитель председателя Комитета государственного имущества Калужской области.
В 2004 г. Максим Акимов возглавлял Министерство экономического развития Калужской области.
С мая 2004 г. - первый заместитель городского головы, с августа по ноябрь 2004 г. - и. о. городского главы Калуги.
В 2004-2007 гг. - городской голова Калуги. Был избран на этот пост 14 ноября 2004 г., набрав 34,63% голосов избирателей. Баллотировался в порядке самовыдвижения. Второе место на выборах занял генеральный директор ОАО "Калужский завод электронных изделий "Автоэлектроника" Андрей Перчян (20,72%).
В июле 2007 г. Максим Акимов перешел на работу в областную администрацию. С 2007 по 2011 г. - заместитель, с 2011 по 2012 г. - первый заместитель губернатора Калужской области Анатолия Артамонова. Курировал региональные министерства экономического развития, финансов, конкурентной политики и тарифов. Отвечал за формирование и реализацию экономической, финансово-бюджетной и инвестиционной политики Калужской области.
В 2012 г. перешел на работу в Аппарат правительства РФ. С 21 мая 2012 г. по 23 мая 2013 г. занимал должность заместителя руководителя Аппарата кабинета министров (пост главы аппарата занимал Владислав Сурков).
С 23 мая 2013 г. по 18 мая 2018 г. - первый заместитель руководителя Аппарата правительства РФ Сергея Приходько. Курировал вопросы реализации государственной политики в области экономики и финансов; развития промышленности, энергетики, транспорта и связи; сельского хозяйства и агропромышленного комплекса; управления федеральным имуществом; таможенной службы; сопровождения приоритетных проектов и программ по основным направлениям стратегического развития РФ.
С 18 мая 2018 г. по 21 января 2020 г. был заместителем председателя правительства РФ Дмитрия Медведева. Курировал сферы транспорта, связи, инновации; вопросы, связанные с недвижимостью и интеллектуальной собственностью. Также занимался национальной программой "Цифровая экономика", цифровизацией государственного управления, в том числе вопросами предоставления госуслуг, а также нацпроектом по созданию безопасных и качественных автодорог. Возглавлял правительственные комиссии по транспорту, по обеспечению безопасности дорожного движения.
15 января 2020 г. правительство Дмитрия Медведева ушло в отставку. До 21 января – даты формирования нового состава кабинета министров, исполнял свои обязанности на посту зампреда. В состав нового правительства Михаила Мишустина Максим Акимов не вошел.
4 февраля 2020 г. был утвержден на пост генерального директора АО "Почта России". Сменил на этом посту Николая Подгузова. 1 декабря 2022 г. правительство РФ издало директиву о назначении на пост главы "Почты России" Михаила Волкова.
Член Совета при президенте РФ по стратегическому развитию и национальным проектам, также входит в его президиум (с июля 2018 г.).
Председатель советов директоров Государственной транспортной лизинговой компании (с августа 2019 г.) и "Почты России" (с октября 2019 г.).
В 2007-2016 гг. был президентом Федерации бадминтона Калужской области. В 2018-2020 гг. был председателем совета директоров "РЖД".
Общая сумма декларированного годового дохода за 2015 г. составила 8 млн 715 тыс. руб., супруга, согласно декларации, доходов не имела.
Общая сумма декларированного годового дохода за 2016 г. составила 8 млн 844 тыс. руб., супруги - 25 тыс. руб.
Общая сумма декларированного годового дохода за 2018 г. составила 8 млн 610 тыс. руб., супруги - 156 тыс. руб.
Действительный государственный советник РФ I класса (2016).
Награжден орденом Александра Невского (2014). Отмечен благодарностью правительства РФ (2014).
Почетный гражданин Калужской области (2019).
Женат, двое сыновей.