Родился 30 октября 1979 г. в Москве.
Окончил Московский государственный строительный университет (МГСУ) по специальности "мировая экономика".
В 1995-1997 гг. Александр Алаев выступал за студенческий футбольный клуб МГСУ, а также за его мини-футбольную команду. Впоследствии играл в мини-футбольной команде Leman pipe, основанной будущим вице-президентом Российского футбольного союза (РФС) Сергеем Анохиным.
В середине 2000-х гг. выступал в чемпионате России по пляжному футболу за команды "Дрим тим МФТИ" и "Строгино". Был игроком сборной России по пляжному футболу, в ее составе становился призером Европейской лиги. В этот период также являлся генеральным директором Федерации пляжного футбола России.
В 2007 г. Александр Алаев начал работать в Российском футбольном союзе. Во второй половине 2000-х гг. был начальником отдела пляжного футбола РФС, а также менеджером сборной России по пляжному футболу.
В начале 2010-х гг. занимал должность заместителя спортивного директора Российского футбольного союза.
В 2012-2013 гг. - исполнительный директор РФС.
В 2013-2016 гг. - генеральный директор Российского футбольного союза.
В 2014 г. вошел в состав президиума Всероссийской ассоциации пляжных видов спорта (ныне является одним из ее вице-президентов)
C 2015 г. на протяжении ряда лет являлся членом комитета Союза европейских футбольных ассоциаций (Union of European Football Associations, UEFA; УЕФА) по маркетингу.
С 2016 г. Александр Алаев совмещал должности генерального директора и генерального секретаря Российского футбольного союза, в 2019 г. стал генеральным секретарем РФС (покинул этот пост в августе 2022 г.).
В декабре 2016 г. был включен в наблюдательный совет оргкомитета чемпионата мира по футболу "Россия-2018".
С 2017 по 2023 г. возглавлял комитет УЕФА по футзалу (мини-футболу) и пляжному футболу. С 2023 г. - заместитель председателя комитета УЕФА по делам безопасности на стадионах.
25 декабря 2017 г. на заседании исполкома Российского футбольного союза Александр Алаев был назначен временно исполняющим обязанности президента организации. Глава РФС Виталий Мутко приостановил свою деятельность в связи с намерением оспорить в Спортивном арбитражном суде решение о его пожизненном отстранении от участия в Олимпийских играх (апелляция была подана 26 декабря 2017 г., удовлетворена 3 июля 2019 г.). 19 октября 2018 г. пресс-служба РФС сообщила, что Виталий Мутко покинул пост президента организации. Исполняющим обязанности главы РФС стал президент Российской премьер-лиги (РПЛ) Сергей Прядкин. 22 февраля 2019 г. на внеочередной конференции президентом РФС был избран председатель правления, генеральный директор компании "Газпром нефть" Александр Дюков (переизбран 4 февраля 2021 г.).
В феврале 2018 г. Александр Алаев вошел в рабочую группу по развитию стратегии УЕФА.
С февраля 2021 г. по июль 2022 г. являлся президентом Футбольной национальной лиги.
В июне 2021 г. стал членом исполкома РФС.
С 27 июня 2022 г., после отставки Ашота Хачатурянца, исполнял обязанности президента Российской премьер-лиги. 16 августа 2022 г. был избран президентом РПЛ.
С декабря 2022 г. - член комитета по социальной ответственности РФС.
Генеральный директор автономной некоммерческой организации "Дирекция футбольных мероприятий и проектов".
Член экспертного совета Российского международного олимпийского университета.