Родился 30 октября 1979 г. в Москве.
Окончил Московский государственный строительный университет (МГСУ) по специальности "мировая экономика".
В 1995-1997 гг. Александр Алаев выступал за студенческий футбольный клуб МГСУ, а также за его мини-футбольную команду. Впоследствии играл в мини-футбольной команде Leman pipe, основанной будущим вице-президентом Российского футбольного союза (РФС) Сергеем Анохиным.
В середине 2000-х гг. выступал в чемпионате России по пляжному футболу за команды "Дрим тим МФТИ" и "Строгино". Был игроком сборной России по пляжному футболу, в ее составе становился призером Европейской лиги. В этот период также являлся генеральным директором Федерации пляжного футбола России.
В 2007 г. Александр Алаев начал работать в Российском футбольном союзе. Во второй половине 2000-х гг. был начальником отдела пляжного футбола РФС, а также менеджером сборной России по пляжному футболу.
В начале 2010-х гг. занимал должность заместителя спортивного директора Российского футбольного союза.
В 2012-2013 гг. - исполнительный директор РФС.
В 2013-2016 гг. - генеральный директор Российского футбольного союза.
В 2014 г. вошел в состав президиума Всероссийской ассоциации пляжных видов спорта (ныне является одним из ее вице-президентов)
C 2015 г. на протяжении ряда лет являлся членом комитета Союза европейских футбольных ассоциаций (Union of European Football Associations, UEFA; УЕФА) по маркетингу.
С 2016 г. Александр Алаев совмещал должности генерального директора и генерального секретаря Российского футбольного союза, в 2019 г. стал генеральным секретарем РФС (покинул этот пост в августе 2022 г.).
В декабре 2016 г. был включен в наблюдательный совет оргкомитета чемпионата мира по футболу "Россия-2018".
В июне 2017 г. возглавил комитет УЕФА по футзалу (мини-футболу) и пляжному футболу.
25 декабря 2017 г. на заседании исполкома Российского футбольного союза Александр Алаев был назначен временно исполняющим обязанности президента организации. Глава РФС Виталий Мутко приостановил свою деятельность в связи с намерением оспорить в Спортивном арбитражном суде решение о его пожизненном отстранении от участия в Олимпийских играх (апелляция была подана 26 декабря 2017 г., удовлетворена 3 июля 2019 г.). 19 октября 2018 г. пресс-служба РФС сообщила, что Виталий Мутко покинул пост президента организации. Исполняющим обязанности главы РФС стал президент Российской премьер-лиги (РПЛ) Сергей Прядкин. 22 февраля 2019 г. на внеочередной конференции президентом РФС был избран председатель правления, генеральный директор компании "Газпром нефть" Александр Дюков (переизбран 4 февраля 2021 г.).
В феврале 2018 г. Александр Алаев вошел в рабочую группу по развитию стратегии УЕФА.
С февраля 2021 г. по июль 2022 г. являлся президентом Футбольной национальной лиги.
В июне 2021 г. стал членом исполкома РФС.
С 27 июня 2022 г., после отставки Ашота Хачатурянца, исполнял обязанности президента Российской премьер-лиги. 16 августа 2022 г. был избран президентом РПЛ.
С декабря 2022 г. - член комитета по социальной ответственности РФС.
Генеральный директор автономной некоммерческой организации "Дирекция футбольных мероприятий и проектов".
Член экспертного совета Российского международного олимпийского университета.