Родился 6 июня 1947 г. в гор. Чарск (Семипалатинская область Казахской ССР, ныне Восточно-Казахстанская область Республики Казахстан).
В восьмом классе школы вместе с друзьями организовал джазовый ансамбль, впоследствии гастролировал с ним по колхозам рядом с Чарском.
В 1965 г. Бари Алибасов поступил в Усть-Каменогорский строительно-дорожный институт (ныне Восточно-Казахстанский государственный технический университет им. Даулета Серикбаева). В 1966 г. вместе с Михаилом Араповым основал джазовый ансамбль "Интеграл", стал его лидером и вокалистом, также играл на барабанах. В 1968 г., после прихода в ансамбль бас-гитариста Александра Стефаненко и гитариста Александра Крахина "Интеграл" начал играть рок-н-ролл, твист, успешно выступил с концертным туром по Казахской ССР.
В 1969 г., не окончив вуз, Бари Алибасов отправился служить в армию. Был определен в войска ПВО (часть располагалась близ Алма-Аты), через полгода переведен в ансамбль Среднеазиатского военного округа. После демобилизации в 1971 г. воссоздал "Интеграл", стал автором песен и вокалистом. Вскоре ансамбль получил статус профессионального коллектива Восточно-Казахстанской областной филармонии.
В 1973-1974 гг. Бари Алибасов занимался в Усть-Каменогорском музыкальном училище по классу ударных, но образование не завершил.
На протяжении 1970-1980-х гг. "Интеграл" вел активную концертную деятельность. С 1978 г. выступал как коллектив Саратовской областной филармонии. В 1980 г. ансамбль завоевал третью премию на Всесоюзном рок-фестивале "Весенние ритмы 80" в Тбилиси (Грузинская ССР, ныне Грузия). В разные годы в состав коллектива входили Юрий Лоза, Женя Белоусов, Сергей Челобанов, Игорь Сандлер и другие известные музыканты.
В 1989 г. "Интеграл" прекратил существование. В том же году Бари Алибасов создал в Москве поп-группу "На-На", стал ее художественным руководителем и продюсером, а также автором музыки ко многим песням. В первой половине 1990-х гг. "На-На" утвердилась в качестве одного из наиболее популярных музыкальных коллективов России (среди известных песен того периода - "Пустынный пляж" на музыку Андрея Иванова и стихи Дмитрия Рубина, "Упала шляпа" на музыку Андрея Ктитарева и стихи Бари Алибасова, "Фаина" на музыку Бари Алибасова и Андрея Потемкина и стихи Михаила Рябинина). Группа существует и в настоящее время, в ее состав входят Владимир Политов, Вячеслав Жеребкин, Леонид Семидьянов и Михаил Игонин.
Работа на телевидении и в кино, книга
В 2001-2005 гг. Бари Алибасов был ведущим юмористического ток-шоу "Бредни Бари" на телеканале М1.
Исполнял различные роли в фильмах "Игры мотыльков" (2003, режиссер Андрей Прошкин) и "Коси и забивай" (2004, Ильдар Исламгулов), сериалах "FM и ребята" (2001, Оксана Перуновская), "Товарищи полицейские" (2011, Константин Фролов) и др.
Автор книги "Основы на-найской философии в диалогах и размышлениях" (1999).
Признание
В 1999 г. Бари Алибасову было присвоено звание заслуженного артиста РФ.