Родился 14 мая 1972 г. в Свердловске (ныне Екатеринбург) в семье железнодорожных работников.
После окончания восьми классов средней школы в 1988-1990 гг. учился в свердловской детско-юношеской спортивной школе олимпийского резерва (биатлон). В 2005 г. заочно окончил кафедру "Экономика труда, теория и практика управления" Академии труда и социальных отношений с присуждением квалификации "экономист".
В 1990-1992 гг. проходил срочную службу в воздушно-десантных войсках Белорусского, затем Закавказского военного округа (Брест, Кутаиси).
После службы занимался частным бизнесом.
С 2001 г. был членом партии "Единство".
В марте 2001 г. избран депутатом Екатеринбургской городской думы по одномандатному округу №7 (Железнодорожный район).
В марте 2004 г. стал депутатом Палаты представителей Законодательного собрания Свердловской области (верхняя палата двухпалатного заксобрания) IV созыва от Железнодорожного одномандатного округа №5. Был заместителем председателя комитета по промышленной, аграрной политике и природопользованию.
В 2004-2008 гг. совмещал исполнение депутатских обязанностей с работой заместителем директора автовокзала "Северный" в Екатеринбурге (депутаты Палаты представителей осуществляли свои полномочия на непостоянной основе, без отрыва от основной деятельности).
В 2006 г. вступил в КПРФ.
В марте 2008 г. был избран депутатом Областной думы Законодательного собрания Свердловской области от КПРФ.
В 2009 г. стал одним из создателей профсоюза работников законодательных и представительных органов Свердловской области, занял пост председателя правления организации.
4 декабря 2011 г. избран депутатом однопалатного Законодательного собрания Свердловской области от КПРФ. Баллотировался в составе партийного списка (возглавлял Железнодорожную территориальную группу), а также по Железнодорожному одномандатному округу №7. Прошел в заксобрание от одномандатного округа, набрал 36,52% голосов (второе место - кандидат от "Единой России", лидер профсоюза работников Свердловской железной дороги Анатолий Гаращенко, 27,11%). Был членом комитета по промышленной, инновационной политике и предпринимательству, председателем мандатной комиссии.
28 июля 2013 г. зарегистрирован кандидатом на выборах главы Екатеринбурга от КПРФ. По итогам голосования 13 сентября того же года занял четвертое место (4,56%) среди 12 кандидатов. Мэром города был избран Евгений Ройзман, выдвинутый партией "Гражданская платформа" (33,31% голосов).
27 марта 2016 г. заявил о выходе из КПРФ. По словам Альшевских, это решение связано с тем, что его в последние годы "целенаправленно отстраняли от работы в партии".
В мае 2016 г. стал победителем предварительного голосования партии (праймериз) по отбору кандидатов в Госдуму РФ по Свердловскому одномандатному округу (набрал 43,36%).
С 2016 г. - депутат Государственной думы РФ VII-VIII созывов.
18 сентября 2016 г. был избран в Государственную думу РФ VII созыва от партии "Единая Россия" по Свердловскому одномандатному округу №168, получив 38,67% голосов. Его ближайший соперник, кандидат от "Справедливой России", академик РАН Валерий Черешнев, набрал 18,66%. В Госдуме Андрей Альшевских вошел во фракцию "Единая Россия". Был заместителем председателя комиссии ГД по расследованию фактов вмешательства иностранных государств во внутренние дела России.
19 сентября 2021 г. избран депутатом Государственной думы РФ VIII созыва. Баллотировался от партии "Единая Россия" по Свердловскому одномандатному избирательному округу №168 (Свердловская обл.), получил 32,94% голосов избирателей. Второе место занял предприниматель Владислав Постников от "Яблока" (12,96%).
С 23 марта 2022 г. - заместитель председателя комиссии Госдумы по расследованию фактов вмешательства иностранных государств во внутренние дела России.
Имеет благодарность правительства РФ (2019).