Родился 20 февраля 1978 г. в гор. Химки Московской области в семье научных работников.
В 1998 г. с отличием окончил механико-математический факультет Московского государственного университета (МГУ) им. М. В. Ломоносова по специальности "математика, прикладная математика" (квалификация: математик). Затем учился в аспирантуре университета (кафедра высшей алгебры).
Кандидат физико-математических наук. В 2001 г. в МГУ защитил диссертацию по теме "Инволютивные тождества бесконечномерных алгебр".
С 2002 г. Никита Анисимов работал в ректорате МГУ. Был ведущим специалистом, начальником отдела управления дополнительного образования (2002-2004), заместителем начальника управления академической политики и организации учебного процесса (2004-2007).
С 2007 по 2009 г. занимал должность заместителя проректора по академической политике МГУ. В те же годы был ответственным секретарем Российского совета олимпиад школьников.
В 2009-2011 гг. - и. о. проректора, в 2011-2013 гг. - проректор МГУ. Одновременно с 2011 по 2013 г. возглавлял управление развития, перспективных проектов и непрерывного образования университета.
В 2011-2015 гг. - президент межрегиональной общественной организации "Ассоциация учителей математики".
В 2013 г. был директором Института переподготовки и повышения квалификации МГУ.
В период с 2013 по 2016 г. работал в Московском государственном машиностроительном университете "МАМИ" (ныне Московский политехнический университет). Сначала был проректором по учебной работе, затем первым проректором и исполняющим обязанности ректора.
В 2016-2021 гг. Никита Анисимов возглавлял Дальневосточный федеральный университет (ДВФУ). 18 августа 2016 г. был назначен и. о. ректора, 14 декабря 2017 г. - ректором ДВФУ на один год, а 14 декабря 2018 г. снова был утвержден в занимаемой должности. Под его руководством ДВФУ в 2018 г. впервые попал в рейтинги (региональные и предметные) лучших университетов мира по версии британского журнала Times Higher Education ("Таймс хайер эдьюкейшн").
С 2019 г. - член правления Российского союза ректоров.
С июля 2021 г. Никита Анисимов руководит Национальным исследовательским университетом "Высшая школа экономики" (НИУ ВШЭ, Москва). Сменил прежнего ректора Ярослава Кузьминова, который был избран научным руководителем вуза. 2 июля глава Минобрнауки РФ Валерий Фальков сообщил, что Анисимов назначен и. о. ректора НИУ ВШЭ. 3 июля 2021 г. премьер-министр РФ Михаил Мишустин подписал распоряжение о назначении его ректором на пятилетний срок.
Указом президента РФ от 3 декабря 2018 г. был включен в состав Совета при президенте РФ по развитию гражданского общества и правам человека.
Является членом центрального штаба общественного движения "Общероссийский народный фронт" (ОНФ).
Почетный доктор в области естественных наук Университета Токай (Япония, Токио, 2018).