Родился 26 декабря 1952 г. в Сухуми Абхазской АССР (ныне Сухум, Республика Абхазия).
В 1974 г. окончил юридический факультет Ростовского государственного университета, в 1987 г. - Академию общественных наук при ЦК КПСС.
С 1975 по 1981 г. работал в Министерстве юстиции Абхазской АССР, затем был первым секретарем Гудаутского райкома ВЛКСМ, начальником Гудаутского РОВД.
В 1981-1983 гг. - инструктор отдела административных органов, заведующий сектором науки и экономического анализа отдела сельского хозяйства, заместитель заведующего отделом административных органов ЦК компартии Грузии.
С 1984 по 1990 г. занимал должность заместителя министра внутренних дел Грузии. Покинул пост на фоне обострения грузино-абхазских отношений: в 1989 г. ряд абхазских политиков потребовал предоставить Абхазии, которую Грузия считала частью своей территории, статус союзной республики в составе СССР.
После отставки Александр Анкваб вернулся в Сухум.
В 1991 г. избран депутатом Верховного совета Абхазии.
В 1992-1993 гг. - министр внутренних дел Республики Абхазия.
С 1994 по 2004 г. занимался общественно-политической деятельностью, предпринимательством и благотворительностью.
В 2000 г. стал одним из организаторов и лидером общественно-политического движения Абхазии "Айтара" ("Возрождение").
С февраля 2005 г. по февраль 2010 г. - премьер-министр Республики Абхазия. В феврале 2010 г., после инаугурации вновь избранного президентом республики Сергея Багапша, Александр Анкваб занял должность вице-президента Абхазии.
После смерти Сергея Багапша 29 мая 2011 г. Александр Анкваб в течение трех месяцев исполнял обязанности президента республики.
В 2011-2014 гг. - президент Республики Абхазия. Был избран 26 августа 2011 г. на внеочередных президентских выборах, набрав 54,86% голосов избирателей (второе место занял премьер-министр Абхазии Сергей Шамба, 21,04%). Александр Анкваб вступил в должность 26 сентября того же года.
27 мая 2014 г. в Сухуме прошел многотысячный митинг оппозиции, требовавшей отставки президента. Протестующие, в частности, обвинили главу республики в нежелании проводить конституционную реформу по передаче части полномочий президента парламенту. 29 мая парламент предложил Александру Анквабу добровольно уйти со своего поста. 1 июня президент подал в отставку, обязанности главы государства были возложены на председателя парламента республики Валерия Бганбу.
В 2014-2017 гг. Александр Анкваб проживал в Москве. В феврале 2017 г. вернулся в Абхазию.
12 марта 2017 г. он был избран депутатом Народного собрания Абхазии VI созыва по избирательному округа №18 (Гудаута), набрав более 52% голосов.
Во время избирательной кампании по выборам президента Абхазии в 2020 г. руководил предвыборным штабом оппозиционного кандидата Аслана Бжании, который был избран главой республики 22 марта.
24 апреля 2020 г. был назначен премьер-министром Республики Абхазия (сменил на этом посту Валерия Бганбу).
30 декабря 2020 г. у Александра Анкваба диагностировали COVID-19. 7 января 2021 г. он был госпитализирован в больницу Федерального медико-биологического агентства России в Москве. 31 марта после прохождения курса лечения вернулся в Абхазию.
Имеет гражданство Абхазии и РФ.
Женат, имеет двоих детей. Супруга - Римма Васильевна Лакоба, кандидат биологических наук. Сыновья - Александр (род. 1983) и Инал (род. 1994).