Родился 12 марта 1949 г. в селе Ванк Мардакертского района Нагорно-Карабахской автономной области, СССР (ныне - на территории самопровозглашенной Нагорно-Карабахской республики, НКР) в семье школьного учителя.
После школы поступил на юридический факультет Ереванского государственного университета, но вскоре перевелся на философский факультет Московского государственного университета (МГУ) им. М. В. Ломоносова.
После окончания вуза учился в аспирантуре МГУ, но, не окончив ее, уехал в конце 1970-х гг. в составе стройотряда на комсомольские стройки. Работал в Уренгое, Тюмени; в 1980-х гг. был начальником экспедиции глубокого бурения в Салехарде. Тогда же занялся журналистикой, сотрудничал с газетой "Комсомольская правда".
В 1988 г. переехал в Москву. Организовывал выставку кооперативов в Лужниках, которую проводил горком ВЛКСМ и "Комсомольская правда". Затем занимался предпринимательской деятельностью. Работал в американской табачной компании Liggett Group ("Лиггет груп"), которая в 1990 г. по инициативе московских властей создала совместное предприятие на базе завода "Дукат".
В 1991 г. Левон Айрапетян возглавил издательский дом "Собеседник" (годом ранее одноименная газета стала самостоятельным изданием, перестав быть еженедельным приложением к "Комсомольской правде"). В 1991-1994 гг. был его генеральным директором, с 1994 г. до кончины - председателем совета директоров. По состоянию на 2017 г., ему принадлежали 35% акций ООО "Собеседник".
В конце 1990-х гг. занимался продажами в России и странах СНГ автомобилей концерна General Motors ("Дженерал моторc"), с 1997 г. был президентом дистрибьютора GM - компании "АТА Моторс" (в 2000-х гг. GM начала продажи напрямую).
Также в 1990-х гг. Левон Айрапетян упоминался в СМИ как владелец бутика швейцарских часов Franck Muller ("Франк Мюллер" в московском "Президент-отеле".
В своем интервью в конце 1999 г. он утверждал, что дружил с мэром Москвы Юрием Лужковым, главой МВД Армении Сержем Саргсяном (с 2008 г. - президент Армении), а также "решал дела по бизнесу" в Белом доме с вице-президентом США Аланом Гором.
В начале 2000-х гг. владел нефтетрейдинговыми компаниями в Башкирии. Был одним из миноритарных акционеров Юниаструм-банка.
Левон Айрапетян занимался благотворительной деятельностью. Финансировал восстановление храмов и инфраструктуры в Нагорном Карабахе, построил мебельную фабрику в своем родном селе.
15 июля 2014 г. Айрапетян был задержан в московском аэропорту Домодедово, откуда планировал улететь в Ниццу (Франция), 17 июля его арестовали. Бизнесмену была инкриминирована организация присвоения и растраты, а затем легализация (отмывание) денежных средств в особо крупном размере (часть 4 статьи 160, части 4 статьи 174.1, часть 5 статьи 33 УК РФ). По утверждениям адвокатов, при аресте не было учтено, что Айрапетян страдает раком мочевого пузыря, сахарным диабетом II типа, гипертонической болезнью, а также то, что в 2010 г. он перенес инсульт, после чего в 2010 и 2013 гг. ему делали операции на сердце.
Уголовное дело в отношении Айрапетяна был связано с незаконной приватизацией и продажей предприятий башкирского топливно-энергетического комплекса, в том числе "Башнефти". В конце 1990-х гг. эти компании оказались в собственности структур сына экс-президента Республики Башкортостан Урала Рахимова. В конце 2000-х гг. "Башнефть" и ряд других предприятий были проданы АФК "Система". По данным следствия, Рахимов (в 2014 г. скрылся за границей) и Айрапетян действовали сообща, разработав план хищения и последующей продажи акций "Башнефти".
Сообщалось, что показания против Айрапетяна дал экс-сенатор от Башкирии Игорь Изместьев, приговоренный в 2010 г. к пожизненному заключению за убийства и терроризм.
3 октября 2014 г. Айрапетян был переведен под домашний арест. В сентябре 2015 г. освобожден под подписку о невыезде. Следствие по делу о хищении акций предприятий башкирского ТЭК продолжается.
В августе 2014 г. против Айрапетяна было возбуждено еще одного уголовное дело по части 4 статьи 159 УК РФ ("Мошенничество в особо крупном размере"). Выяснилось, что летом 2010 г. Айрапетян пообещал Тамаре Изместьевой добиться вынесения более мягкого приговора ее сыну за 700 тыс. долларов США, но повлиять на приговор не смог. На время следствия и суда Айрапетян находился под подпиской о невыезде. 14 апреля 2016 г. он был признан виновным в мошенничестве и приговорен Замоскворецким судом Москвы к четырем годам лишения свободы в колонии общего режима. Также он был обязан вернуть Изместьевой 20,8 млн руб.
18 октября 2017 г. скончался в исправительной колонии №12 в Мордовии (Зубово-Полянский район, п. Молочница).
Был женат, супруга - Тамара. Имел четырех дочерей.