Родился 22 января 1921 г. в г. Эривань (ныне Ереван, Республика Армения). Фактическая дата рождения - 21 января 1921 г. Его родители были учителями.
В 1928-1936 гг. Арно Бабаджанян учился в музыкальной школе при Ереванской государственной консерватории. В 1930 г. сочинил первое фортепианное произведение - "Пионерский марш".
В 1936-1938 гг. изучал композицию в Ереванской консерватории.
В 1938 г. после прослушивания был принят в Москве на третий курс Государственного музыкального училища им. Гнесиных (ныне Российская академия музыки им. Гнесиных) личным решением его руководительницы Елены Гнесиной. Окончил училище по классу фортепиано Елены Гнесиной и классу композиции народного артиста РСФСР Виссариона Шебалина.
В 1940 г. Арно Бабаджанян поступил в Московскую государственную консерваторию им. П. И. Чайковского. Занимался по фортепианному классу педагога Бориса Берлина.
После начала Великой Отечественной войны участвовал в возведении оборонительных сооружений под Смоленском. В конце 1941 г. с коллективом столичной консерватории был эвакуирован в Саратов, где руководил самодеятельным ансамблем военного училища связи.
В 1942 г. Арно Бабаджанян вернулся в Ереван и продолжил учебу в местной консерватории. В 1943 г. был принят в Союз композиторов СССР.
С 1946 по 1948 г. совершенствовался по классу композиции в Доме культуры Армянской ССР в Москве под руководством педагога Генриха Литинского.
В 1947 г. окончил (экстерном) композиторский факультет Ереванской консерватории (класс доцента Вардкеса Тальяна), в 1948 г. - Московскую консерваторию (фортепианный класс народного артиста СССР Константина Игумнова).
В 1950-х гг. Арно Бабаджанян преимущественно работал в камерно-инструментальных жанрах. Среди его произведений этого периода: "Героическая баллада" для фортепиано с оркестром (1950), фортепианное трио (1952), поэма-рапсодия для симфонического оркестра (1954), соната для скрипки и фортепиано (1959).
В 1950-1956 гг. преподавал игру на фортепиано в Ереванской государственной консерватории.
С 1956 г. проживал и работал в Москве.
В 1960-1970-е гг. Арно Бабаджанян получил широкую известность как автор музыки к эстрадным песням. В их числе: "Чертово колесо", "Твои следы" (стихи Евгения Евтушенко), "Лучший город Земли" (стихи Леонида Дербенева), "Королева красоты" (стихи Анатолия Горохова), "Дорога дальняя", "Имена" (стихи Владимира Харитонова), "Воспоминание", "Позови меня", "Благодарю тебя", "Свадьба" (стихи Роберта Рождественского), "Верни мне музыку", "Парижский снег" (стихи Андрея Вознесенского). С песнями Арно Бабаджаняна выступали Муслим Магомаев, Иосиф Кобзон, Анна Герман, София Ротару и другие известные артисты.
Академические сочинения композитора исполняли виолончелист Мстислав Ростропович, пианист Эмиль Гилельс, скрипач Давид Ойстрах.
Музыка Арно Бабаджаняна звучит в фильмах "Песня первой любви" (1958, режиссеры Лаэрт Вагаршян и Юрий Ерзинкян), "Невеста с севера" (1975, Нерсес Оганесян), "Багдасар разводится с женой" (1976, Григорий Мелик-Авакян).
Арно Бабаджанян скончался 11 ноября 1983 г. в Москве на 63-м году жизни. Похоронен в Ереване на Тохмахском кладбище.
Народный артист СССР (1971).
Был награжден орденами Трудового Красного Знамени (1956) и Ленина (1981).
Лауреат Сталинской премии III степени (1951), Государственной премии Армянской ССР (1967, 1983 - посмертно).
Был женат на Терезе Сократовне Бабаджанян (1924-1990, пианистка). Сын - Ара Бабаджанян (род. 1953, соучредитель и президент Регионального общественного фонда памяти Арно Бабаджаняна).