Родился 7 декабря 1890 г. (25 ноября по старому стилю) в д. Невениковская Слободского уезда Вятской губернии Российской империи (ныне д. Бакули, Слободской район Кировская обл. РФ) в крестьянской семье. Начальное образование получил в сельской школе.
В 1911 г. окончил Вятскую мужскую гимназию и поступил на медицинский факультет Императорского Николаевского Саратовского университета (ныне Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского). Параллельно с учебой на третьем курсе стал работать в университетской госпитальной хирургической клинике, которой заведовал профессор Сергей Спасокукоцкий.
Во время Первой мировой войны, летом 1915 г., после окончания четвертого курса в звании зауряд-врача Александр Бакулев был призван в действующую армию и направлен на Западный фронт, где полтора года служил младшим врачом пехотного полка. Затем проходил службу в 4-м Неманском кавалерийском полку.
В 1917 г. Бакулева откомандировали в Саратовский университет для завершения образования. В мае 1918 г., сдав госэкзамен, он получил диплом врача. Тогда же был избран сверхштатным ординатором госпитальной хирургической клиники университета. Однако вскоре был призван в Красную армию.
С августа 1919 г., находясь на военной службе, Александр Бакулев одновременно работал штатным ординатором кафедры госпитальной хирургии медицинского факультета Саратовского университета. В то же время заведовал хирургическим отделением эвакогоспиталя в Саратове. В 1922 г. был демобилизован.
В ноябре 1923 г. Бакулев был утвержден на должность младшего ассистента кафедры госпитальной хирургии Саратовского университета.
В 1926 г. он переехал в Москву, куда был переведен профессор Спасокукоцкий, назначенный заведующим кафедрой факультетской хирургии Второго Московского государственного медицинского института (2-й МГМИ, ныне Российский национальный исследовательский медицинский университет, РНИМУ, им. Н. И. Пирогова). Бакулев последовательно занимал должности ассистента, старшего ассистента, доцента, второго профессора кафедры.
В 1927-1928 гг. находился в командировке в Германии, где в берлинской клинике нейрохирурга Отфрида Фёрстера изучал черепно-мозговую хирургию.
В 1935 г. по совокупности научных работ в области хирургии Александру Бакулеву была присуждена ученая степень кандидата медицинских наук без защиты диссертации. В 1939 г. он защитил докторскую диссертацию на тему "Консервативное лечение абсцессов мозга (пункциями)", в основу которой легли исследования о возможности применения пневмографии при гнойных поражениях мозга и разработанная им техника лечения с помощью наполнения полости гнойника воздухом.
В 1939-1941 гг. заведовал госпитальной хирургической клиникой педиатрического факультета 2-го МГМИ (ныне кафедра факультетской хирургии педиатрического факультета РНИМУ им. Н. И. Пирогова).
Во время Великой Отечественной войны был главным хирургом Резервного фронта и по совместительству главным хирургом эвакогоспиталей Москвы.
В 1941 г. Александр Бакулев был назначен заведующим хирургическим отделением Кремлевской больницы, затем до 1953 г. являлся главным хирургом лечебно-санитарного управления Кремля.
Одновременно заведовал кафедрой общей и военно-полевой хирургии Первого Московского медицинского института (ныне Первый Московский государственный медицинский университет им. И. М. Сеченова).
В 1943 г., после смерти Спасокукоцкого, Александр Бакулев возглавил кафедру факультетской хирургии 2-го МГМИ (ныне кафедра факультетской хирургии №1 лечебного факультета РНИМУ им. Н. И. Пирогова) и являлся ее заведующим до конца жизни.
В 1947 г. Бакулев был избран членом-корреспондентом, в 1948 г. - действительным членом Академии медицинских наук (АМН) СССР, в 1958 г. - академиком Академии наук СССР.
В 1953-1960 гг. являлся президентом АМН СССР.
В 1956 г. по предложению Александра Бакулева на базе факультетской хирургической клиники им. С. И. Спасокукоцкого 2-го МГМИ был организован Институт грудной хирургии АМН СССР, и он стал его первым директором. Руководил институтом до 1958 г., затем был научным руководителем. Впоследствии его детище было преобразовано в Институт сердечно-сосудистой хирургии, ныне Национальный медицинский исследовательский центр (НМИЦ) сердечно-сосудистой хирургии им. А. Н. Бакулева.
Являлся депутатом Верховного Совета (ВС) СССР III, IV и V созывов (1950-1962), членом Межпарламентского комитета ВС СССР, членом президиума Комитета по Ленинским премиям в области науки и техники (с 1956 г.), членом правления Всесоюзного общества хирургов, почетным членом многих отечественных и зарубежных хирургических и медицинских обществ, почетным доктором медицины Туринского университета (Италия).
Александр Бакулев скончался 31 марта 1967 г. в Москве на 77-м году жизни. Похоронен на Новодевичьем кладбище столицы.
Основные труды Бакулева посвящены вопросам хирургии желудочно-кишечного тракта, нейрохирургии, урологии, легочной и сердечно-сосудистой хирургии. Он был одним из основоположников отечественной сердечно-сосудистой и легочной хирургии, создал научную сердечно-сосудистую хирургическую школу. Бакулев первым в СССР выполнил многие операции: успешное удаление опухоли средостения (1930), операцию по поводу слипчивого перикардита (1935), двустороннюю ваготомию при язвенной болезни желудка (1941), удаление легкого по поводу хронического нагноения (1945), перевязку открытого артериального протока (1948), резекцию аневризмы грудной аорты (1952) и др. Предложил (1935) способ пластики пищевода (способ Бакулева), метод дренирования арахноидального пространства при водянке головного мозга. Разработал (1940) метод лечения абсцессов мозга, способ соединения пищевода и тощей кишки после удаления желудка (способ Герцена - Бакулева), способ образования соустья петли тощей кишки с двенадцатиперстной кишкой (способ Бакулева - Дельбе). Изобрел инъекционную иглу для введения лекарств в полость перикарда (игла Бакулева). Разработал метод восстановления функции сердца путем открытого массажа и искусственного дыхания, впервые предложил оперировать больных с острым инфарктом миокарда.
Автор и соавтор более 200 научных трудов. Среди них "Лечение абсцессов мозга после ранения" (1942), "Пневмонэктомия и лобэктомия" (1949), "Хирургическое лечение болезней сердца и магистральных сосудов" (1952), "Врожденные пороки сердца: патология, клиника и хирургическое лечение" (1955), "Хирургическое лечение митральных стенозов. Руководство для врачей" (1958), "Хирургическое лечение гнойных заболеваний легких" (1961), "Хирургическое лечение опухолей и кист средостения" (1976), "Хирургическое лечение окклюзий верхней полой вены и ее притоков" (1967) и др.
Был автором и научным редактором иллюстрационного отдела 1-го издания Большой медицинской энциклопедии (БМЭ), редактором многотомного труда "Опыт советской медицины в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.". В 1954-1967 гг. - главный редактор 2-го издания БМЭ и Популярной медицинской энциклопедии (совместно Ф. Н. Петровым).
Герой Социалистического Труда (1960). Был награжден орденами Красной Звезды (1942), Ленина (1945, 1953, 1960), Трудового Красного Знамени (1951) и др.
Лауреат Сталинской премии II степени (1949, за работы по легочной хирургии) и Ленинской премии (1957, за разработку и внедрение в практику операций на сердце и кровеносных сосудах).
Имел иностранные награды, в т. ч. ордена "За заслуги перед народом" (Югославия), "За гражданские заслуги" (Болгария). Первым из отечественных хирургов был удостоен почетной международной премии "Золотой скальпель" (1965).
Заслуженный деятель науки РСФСР (1946).