Родился 10 июня 1962 г. в Астрахани.
В 1985 г. окончил Астраханский государственный медицинский институт (ныне университет) им. А. В. Луначарского по специальности "врач-лечебник", затем - субординатуру вуза по специальности "акушерство и гинекология". В 1995 г. получил диплом Волгоградской академии государственной службы (квалификация - "государственный, муниципальный служащий"), в 2005 г. - Международного юридического института при Министерстве юстиции РФ (квалификация - "юрист").
Кандидат медицинских наук (1988), диссертацию защитил на тему "Структурные преобразования поджелудочной железы человека в перинатальном и раннем постнатальном онтогенезе".
С 1985 по 1993 г. преподавал на кафедре оперативной хирургии Астраханского мединститута.
В 1990 г. был избран в Астраханский Совет народных депутатов от областного комитета ВЛКСМ. В 1992 г. стал членом малого Совета облсовета (малый Совет осуществлял полномочия областного Совета народных депутатов в период между его сессиями).
С 1993 по 1999 г. Александр Башкин работал исполнительным директором областного Фонда социальной поддержки населения.
С 1999 по 2016 г. - председатель правления областного Фонда соцподдержки населения.
В 1998 г. он был избран депутатом Астраханского областного представительного собрания II созыва (с 2001 г. - Государственная дума Астраханской области, с 2011 г. - Дума Астраханской области). Переизбирался в областной парламент в 2001, 2006, 2011 и 2016 гг. Был членом фракции "Единая Россия". В 2001-2006 гг. занимал пост заместителя председателя комитета по социальной политике, в 2006-2011 гг. - председателя комитета по государственной политике, законности, правопорядку и безопасности. В 2011-2016 гг. возглавлял комитет по государственному строительству, законности и правопорядку. Входил также в комитет по здравоохранению и социальному развитию. Его депутатские полномочия были прекращены досрочно в 2016 г. в связи с переходом в Совет Федерации РФ.
Входил в состав учредителей астраханского отделения общероссийского общественного политического движения "Консервативное движение "Новая сила", созданного Сергеем Кириенко в 1998 г. В августе 1999 г. движение стало частью избирательного блока "Союз правых сил" (СПС; в 2001-2008 гг. - партия).
19 декабря 1999 г. участвовал в выборах в Государственную думу РФ III созыва по списку блока СПС. Баллотировался под четвертым номером в региональной группе "Волга-2", объединяющей республики Калмыкия, Марий Эл, Мордовия, Астраханскую, Пензенскую, Самарскую и Саратовскую области. По итогам выборов СПС набрала 8,52% и прошла в Госдуму, однако Башкин депутатский мандат не получил.
2 декабря 2007 г. он вновь баллотировался в Государственную думу РФ V созыва по списку СПС по общефедеральному округу. Входил в региональную группу №52 от Астраханской области. В Думу не прошел, поскольку партия не преодолела семипроцентный барьер (0,96%).
С 27 сентября 2016 г. - член Совета Федерации РФ (сенатор) от исполнительного органа государственной власти Астраханской области (вновь наделен полномочиями сенатора в сентябре 2019 г.). С октября 2018 г. - заместитель председателя комитета СФ по конституционному законодательству и государственному строительству.
Награжден медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2020). Имеет благодарность правительства РФ (2018).