Родился 25 августа 1918 г. в г. Лоренсе (шт. Массачусетс, США) в еврейской семье. Родители - выходцы из Украины Самуил Джозеф Бернстайн и Дженни Резник Бернстайн. Отец занимался торговлей, мать была домохозяйкой.
При рождении получил имя Луис, однако в 16 лет официально сменил его на Леонард.
Учился в Бостонской латинской школе, одном из старейших государственных учебных заведений США. Одновременно брал уроки музыки.
В 1939 г. с отличием окончил Гарвардский университет, где наряду с музыкой изучал литературу и философию. В 1941 г. окончил Кёртисовский институт музыки в Филадельфии. Среди преподавателей Бернстайна были известные музыканты - Изабелла Венгерова (фортепиано), Фриц Райнер (дирижирования), Рэндалл Томпсон (оркестровка).
В студенческие годы Леонард Бернстайн участвовал в театральных постановках как дирижер, композитор, аккомпаниатор. Был членом комедийной труппы "Ревю" в Гринвич-вилледж. В 1939 г. написал музыку к спектаклю "Птицы", принимал участие в постановке мюзикла Марка Блицстайна "Колыбель будет качаться".
В 1940 г. посещал летние дирижерские курсы в Беркширском музыкальном центре (затем - Тэнглвудский центр; Ленокс, шт. Массачусетс), организованном руководителем Бостонского симфонического оркестра Сергеем Кусевицким. Был учеником и помощником Кусевицкого. Последний предлагал молодому музыканту работать с оркестром в качестве приглашенного дирижера. Однако Бернстайн отказался, опасаясь возможных санкций по стороны крупнейшей профсоюзной организации - Американской гильдии музыкантов (оркестр не состоял в гильдии). Кроме того, он надеялся получить место в Миннеаполисском симфоническом оркестре у Димитриса Митропулоса, с которым был знаком, но приглашения не получил. Зарабатывал частными уроками музыки, затем переехал в Нью-Йорк, где устроился в издательство Harms-Remick.
В августе 1943 г. Леонард Бернстайн стал ассистентом Артура Родзинского, руководителя Нью-Йоркского филармонического общества (впоследствии - Нью-Йоркский филармонический оркестр). В ноябре того же года состоялся дебют молодого музыканта: ему пришлось срочно заменить заболевшего приглашенного дирижера Бруно Вальтера. Из-за нехватки времени репетиций с Нью-Йоркским оркестром не проводилось, на изучение партитуры у Бернстайна ушло всего несколько часов. Несмотря на это, первое выступление дирижера критики расценили как триумфальное. После этого ему стали поступать приглашения от крупнейших концертных залов Америки и Европы.
В 1945-1948 гг. Леонард Бернстайн был главным дирижером Нью-Йоркского городского симфонического оркестра. Работал также с музыкальными коллективами Лондона, Вены, Милана, Тель-Авива, Праги и др. В 1953 г. стал первым американским дирижером, приглашенным в миланский театр La Scala: дебютировал на сцене театра с оперой "Медея" Луиджи Керубини, заглавную партию в которой пела Мария Каллас.
С 1951 г., после смерти Сергея Кусевицкого, возглавил оркестровый и дирижерский факультет в Тэнглвудском центре. Читал лекции в университете г. Вельтема, сотрудничал с фестивалем искусств при Брандейском университете (шт. Массачусетс) и др.
С 1958 по 1969 г. был главным дирижером и музыкальным директором Нью-Йоркского филармонического оркестра. Совершил несколько турне по странам Латинской Америки, Европы, Японии. В 1959 г. гастролировал со своим коллективом в СССР, дал свыше 30 концертов.
Леонард Бернстайн - единственный дирижер, дважды осуществивший запись полного цикла симфоний Густава Малера. Записывал полные циклы симфоний Людвига ван Бетховена, Петра Чайковского, Йозефа Гайдна, сочинения американских композиторов XX века и др. Всего им было сделано более 400 записей, более половины из них - с Нью-Йоркским филармоническим оркестром. Успехом у публики пользовался концерт, во время которого Бернстайн управлял музыкантами без помощи рук - только мимикой и взглядом.
Одновременно с концертными выступлениями продолжал заниматься композиторской, преподавательской и просветительской деятельностью. Был автором цикла из 53 концертов для молодежи (Young People’s Concerts). С начала 1950-х гг. вел раздел о классической музыке в программе "Омнибус" телеканала CBS. В 1971 г. был приглашен в Гарвардский университет на должность профессора кафедры поэзии им. Чарльза Элиота Нортона, читал курс из шести лекций "Вопрос без ответа". Пропагандировал изучение музыки через литературу, философию и другие гуманитарные дисциплины.
Автор духовной музыки (Чичестерские псалмы, 1965), симфоний "Иеремия" (1942), "Век тревог" (1949), "Каддиш" (1963), балетов "Невлюбляющиеся" (1944), "Факсимиле" (1946) и "Диббук" (1974), опер "Волнения на Таити" (1952) и "Тихое место" (1986), концертов, инструментальных пьес, музыки к кинофильмам и др. В 1971 г. на открытии Центра исполнительских искусств им. Джона Ф. Кеннеди в Вашингтоне состоялась премьера мессы, созданной Бернстайном по заказу Жаклин Кеннеди. В этом произведении он соединил канонический текст католической службы с мюзиклом, роком, джазом и авангардной музыкой.
Наибольший успех Леонарду Бернстайну как композитору принесли мюзиклы, написанные для бродвейских театров. В 1944 г. состоялась премьера мюзикла "Увольнение в город", который лег в основу одноименного кинофильма 1949 г. с Френком Синатрой в главной роли. Спектакль "Чудесный город", вышедший в 1953 г., выдержал свыше 500 представлений за один театральный сезон и был удостоен премии "Тони" в пяти номинациях, в том числе как лучший мюзикл.
26 сентября 1957 г. в театре Winter Garden в Нью-Йорке состоялась премьера мюзикла "Вестсайдская история" - современная версия трагедии Уильяма Шекспира "Ромео и Джульетта". Автором либретто выступил Артур Лоурентс, стихов - Стивен Сондхайм, хореографом - Джером Роббинс. Мюзикл ставился более 700 раз. В 1961 г. на экраны вышел одноименный фильм Роберта Уайза и Джерома Роббинса, удостоенный в 1962 г. десяти премий "Оскар".
В 1981 г. Леонард Бернстайн был избран в Американскую академию искусств и литературы.
В 1989 г. выступал в Берлине с Девятой симфонией Бетховена, приурочив концерт к падению Берлинской стены.
В 1990 г. оставил дирижирование по состоянию здоровья. Его последнее выступление с Бостонским симфоническим оркестром состоялось 19 августа 1990 г. в Тэнглвуде.
14 октября 1990 г. скончался в Нью-Йорке от сердечного приступа. Похоронен на Гринвудском кладбище в Бруклине.
Являлся учредителем ряда фондов, в т. ч. Фонда художественного образования (1990).
Избирался президентом Национальной академии Святой Цецилии (1983, Рим), Лондонского симфонического оркестра (1987), Израильского филармонического оркестра (1988).
Почетный доктор ряда университетов: Йельского (1966), Гарвардского (1967), Тель-Авивского (1973), Бостонского (1983) и др.
Командор ордена Почетного легиона (1985, Франция), кавалер Большого креста ордена "За заслуги перед Итальянской Республикой" (1988) и др. Лауреат 16 премий "Грэмми", специальной награды "Грэмми" за жизненные достижения (1985), десяти премий "Эмми", премии "Тони" за выдающиеся достижения в области театра (1969), Императорской премии Японии (1990) и др.
Леонард Бернстайн занимает второе место в списке 20 наиболее выдающихся дирижеров всех времен по версии BBC Music. Введен в Зал славы Национальной академии искусства и науки звукозаписи США, в Зал славы авторов песен - дочерней организации Национальной академии популярной музыки США, др.
Написал несколько книг, в т. ч. "Радость музыки" (The Joy of Music, 1959), "Бесконечное разнообразие музыки" (The Infinite Variety of Music, 1966).
Был женат на актрисе, пианистке Фелиции Монтеалегре (1922-1978). Имел троих детей: дочери - Джейми и Нина, сын - Александр.