Родился 18 ноября 1920 г. в Москве в семье заводского рабочего.
В 1952 г. окончил Государственный центральный институт физической культуры им. И. В. Сталина (ныне Российский государственный университет физической культуры, спорта, молодежи и туризма), в 1954 г. - аспирантуру этого вуза.
Спортивная карьера
Константин Бесков начал играть в футбол в детских дворовых командах в конце 1920-х гг.
С 1934 г. выступал за команду Завода точной электромеханики (с 1936 г. - Завод №205 им. Н. С. Хрущева). Параллельно, в 1935-1936 гг., - за команду Таганского детского парка, которая в 1936 г. выиграла первенство Москвы в своей возрастной категории. Игровая позиция - нападающий.
В 1937-1940 гг. - игрок московского клуба "Металлург" (до 1938 г. носил название "Серп и молот"). В его составе стал бронзовым медалистом чемпионата СССР 1938 г.
В 1940 г. Константин Бесков был призван в Рабоче-крестьянскую Красную армию и направлен в пограничные войска. Проходил службу в г. Могилев-Подольский (Винницкая область Украинской ССР, ныне Украина) и г. Бельцы (Молдавская ССР, ныне Молдавия).
В феврале 1941 г. на основании вызова старшего тренера московского "Динамо" Бориса Аркадьева был переведен в Москву, где вошел в состав команды. Дебютировал за нее в чемпионате СССР весной 1941 г. Турнир не был доигран из-за начала Великой Отечественной войны. Константин Бесков нес патрульно-охранную службу в столице, затем был зачислен в Отдельную мотострелковую бригаду особого назначения.
С 1945 г. возобновил выступления за московское "Динамо". В ноябре того же года в составе клуба принял участие в турне по Великобритании. Москвичи провели четыре матча с ведущими местными командами, одержав две победы и дважды сыграв вничью. Константин Бесков играл в каждом из матчей, забил четыре мяча в ворота "Кардифф Сити" (итог встречи - победа со счетом 10:1) и один мяч - в ворота лондонского "Арсенала" (4:3). Успешное выступление динамовцев способствовало расширению спортивных международных связей Советского Союза и вступлению Секции футбола СССР в Международную федерацию футбола (Federation Internationale de Football Association, FIFA; ФИФА) спустя два года.
Вместе с "Динамо" Константин Бесков дважды выиграл чемпионат СССР (1945, 1949), один раз - Кубок страны (1953). Четыре раза становился серебряным призером чемпионата Советского Союза (1946-1948, 1950), один раз - бронзовым (1952). В общей сложности провел в первенстве страны 231 матч, забил 104 мяча.
В 1952 г. в составе сборной СССР принимал участие в XV летних Олимпийских играх в Хельсинки (Финляндия).
В 1954 г. завершил карьеру игрока.
Тренерская и административная деятельность, книги
В 1954-1955 гг. Константин Бесков был вторым тренером сборной СССР.
В 1955-1956 гг. - старший тренер московского "Торпедо".
С 1957 по 1960 г. - старший тренер Футбольной школы молодежи, тренер молодежной сборной СССР.
В 1961-1962 гг. возглавлял московский ЦСКА.
В 1963-1964 гг. Константин Бесков был старшим тренером сборной СССР. Под его руководством команда стала серебряным призером чемпионата Европы 1964 г. В финале турнира, проходившего в Испании, советские футболисты уступили хозяевам соревнований со счетом 1:2.
В 1964-1965 гг. являлся старшим тренером луганской "Зари", в 1966 г. - московского "Локомотива".
С 1967 по 1972 г. и с 1994 по 1995 г. Константин Бесков возглавлял московское "Динамо". Под его руководством команда становилась серебряным призером чемпионатов СССР (1967, 1970) и России (1994), обладателем Кубков СССР (1967, 1970) и России (1995), серебряным призером чемпионата России (1994).
В 1974 г. - главный тренер сборной СССР.
С 1977 по 1988 г. Константин Бесков был главным тренером московского "Спартака". Принял команду после вылета в первую лигу и по итогам сезона вернул ее в высший дивизион. Дважды приводил "Спартак" к победе в чемпионате Советского Союза (1979, 1987), пять раз - к серебряным медалям этого турнира (1980, 1981, 1983-1985), два раза - к бронзовым (1982, 1986).
В 1979-1982 гг. параллельно работе в клубе являлся главным тренером сборной СССР. В 1980 г. под его руководством советские футболисты стали бронзовыми медалистами XXII летних Олимпийских игр в Москве.
В 1990-1991 гг. был заместителем председателя Федерации футбола СССР Вячеслава Колоскова.
В 1991-1992 гг. возглавлял московский клуб "Асмарал".
Автор книг "Игра нападающих" (1956) и "Моя жизнь в футболе" (1994).
Кончина
В апреле 2006 г. Константин Бесков перенес инсульт. Он скончался 6 мая 2006 г. в Москве на 86-м году жизни. Похоронен на Ваганьковском кладбище.
Звания, награды
Заслуженный мастер спорта СССР (1948). Был лишен его в 1952 г. в числе ряда других футболистов в связи с проигрышем советской сборной югославам на Олимпийских играх. Восстановлен в звании в 1953 г.
Заслуженный тренер СССР (1968).
Был награжден орденами "Знак Почета" (1957, 1971), Дружбы народов (1980), Ленина (1985), Отечественной войны II степени (1985), "За заслуги перед Отечеством" II и III степеней (2000, 1995).
Обладатель ордена ФИФА "За заслуги перед футболом" (2004).
Семья
Был женат на Валерии Николаевне Бесковой (1928-2010). Дочь - Любовь (род. 1947).