Родился 26 ноября 1968 г. в Ростове-на-Дону.
В 1991 г. окончил Ростовское высшее военное командно-инженерное училище ракетных войск по специальности "системы управления летательными аппаратами" с присвоением квалификации инженера, в 2002 г. - Ростовский государственный университет по специальности "юриспруденция".
Проходил военную службу в должности командира взвода в рядах Вооруженных сил СССР.
С 1991 по 1999 г. - заместитель директора ТОО "Радуга" (Ростов-на-Дону).
В 1999-2003 гг. - помощник депутата Государственной думы РФ от КПРФ Николая Коломейцева.
С 2006 по 2013 г. - юрисконсульт ООО "Управление механизации и строительства" (Ростов-на-Дону).
С 2008 по 2021 г. - депутат Законодательного собрания Ростовской области IV-VI созывов (избирался в 2008, 2013, 2018 гг. в составе списка кандидатов от КПРФ по единому округу). С 2013 г. исполнял депутатские полномочия на постоянной основе. Руководитель фракции КПРФ (с 2013 г.).
14 марта 2010 г. Евгений Бессонов участвовал в выборах мэра Ростова-на-Дону от КПРФ. Получил 19.38% голосов, уступив Михаилу Чернышеву, за которого проголосовали 74,17% избирателей.
Баллотировался в Госдуму РФ в 2007 и 2011 гг. в составе федерального списка КПРФ (Ростовская региональная группа), однако по итогам выборов депутатский мандат не получал. В 2016 г. вновь был выдвинут компартией в депутаты Госдумы от Ростовской области: по федеральному округу (третий номер региональной группы №33) и по Нижнедонскому одномандатному округу №150. В Госдуму не прошел, в одномандатном округе занял второе место с результатом 17,11% голосов избирателей (победу одержал Михаил Емельянов от "Единой России", 57,43%).
13 сентября 2020 г. принял участие в выборах губернатора Ростовской области. Набрал 17,63% голосов избирателей и занял второе место после действующего главы области, кандидата от "Единой России" Василия Голубева (65,53%).
Первый секретарь Ростовского-на-Дону городского комитета КПРФ.
Второй секретарь Ростовского областного комитета партии (первый секретарь обкома - Николай Коломейцев).
С 2021 г. - депутат Государственной думы РФ VIII созыва. На выборы 19 сентября 2021 г. был выдвинут КПРФ по федеральному округу (под первым номером региональной группы №32, Ростовская обл.) и по Таганрогскому одномандатному избирательному округу №151 (Ростовская обл.). Прошел в Госдуму в составе федерального списка кандидатов. В одномандатном округе занял второе место с результатом 28,64%, уступив претенденту от "Единой России" Сергею Бурлакову (40,72%).