Родилась 23 сентября 1956 г. в станице Стародерявянковская Краснодарского края.
В 1975 г. окончила Армавирский юридический техникум по специальности "юрист", в 1990 г. - Псковский государственный педагогический институт им. С. М. Кирова (ныне Псковский государственный университет) по специальности "учитель истории и права". В 1994 г. прошла курсы повышения квалификации "Финансовый менеджмент" в московской Финансовой академии (ныне Финансовый университет при правительстве РФ). В 1996 г. получила диплом Института подготовки и переподготовки кадров при Финансовой академии.
С 1975 по 1991 г. работала старшим инспектором, заместителем заведующего, заведующим городским отделом социального обеспечения в Пскове.
В 1991-2014 гг. занимала должность управляющего отделением Пенсионного фонда по Псковской области.
В 2004, 2007 и 2011 гг. избиралась депутатом Псковского областного собрания депутатов III, IV и V созывов. В марте 2004 г. баллотировалась по избирательному округу №6, набрала 42,23% голосов. В марте 2007 г. и в декабре 2011 г. участвовала в выборах по избирательному округу №15 (64,42% и 56,44% соответственно).
Полномочия депутата облсобрания исполняла на непостоянной основе, совмещая их с руководством отделением Пенсионного фонда. В 2011-2014 гг. была заместителем председателя Псковского областного собрания депутатов.
В апреле 2009 г. стала руководителем региональной общественной приемной лидера партии "Единая Россия" Владимира Путина.
С мая 2010 г. возглавляла региональный политсовет партии "Единая Россия".
Дважды - в 2007 и 2011 гг. - баллотировалась в Государственную думу РФ по списку партии "Единая Россия" от Псковской области, однако по итогам распределения мандатов в нижнюю палату парламента не проходила.
В 2014-2023 гг. - член Совета Федерации РФ от Псковской области. В сентябре 2014 г. губернатор Псковской области Андрей Турчак подписал указ о наделении Елены Бибиковой полномочиями сенатора - представителя от исполнительного органа государственной власти региона (вновь была наделена полномочиями в сентябре 2018 г.). В Совете Федерации она сменила Михаила Маргелова. В сентябре 2023 г. новым представителем администрации Псковской области в Совфеде стал Алексей Наумец.
Награждена орденом Дружбы (2018), медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2007), Почетной грамотой правительства РФ (2020).
Имеет почетное звание "Заслуженный работник социальной защиты населения" (2000).