Родился 7 марта 1948 г. в г. Львове Украинской ССР (ныне - Украина).
В 1969 г. окончил Донецкий политехнический техникум, в 1975 г. - Свердловский юридический институт (ныне - Уральский государственный юридический университет), где учились также Юрий Скуратов (генеральный прокурор РФ в 1995-1999 гг.) и Юрий Чайка (министр юстиции в 1999-2006 гг.; генпрокурор РФ с 2006 г.).
Кандидат юридических наук (тема диссертации - "Особенности расследования преступлений об организации незаконного вооруженного формирования или участии в нем: по материалам республик Северного Кавказа"; 2002, Российский университет дружбы народов).
Во время учебы в техникуме работал на Макеевском коксохимическом заводе (г. Макеевка, Донецкая область).
В 1969-1971 гг. проходил срочную службу в вооруженных силах.
В 1975 г. был назначен следователем прокуратуры Абайского района г. Чимкента в Казахстане. Позднее в том же году переведен в Свердловскую область. В 1976-1979 гг. занимал должность старшего следователя прокуратуры г. Асбеста, в 1979-1980 гг. - заместителя прокурора города.
В 1980 г. переехал в Калмыкию, был назначен заместителем начальника следственного отдела республиканской прокуратуры.
В 1980-1982 гг. - транспортный прокурор Элисты, в 1982-1997 гг. - прокурор города.
В 1997-1999 гг. занимал должность заместителя начальника Главного управления Генеральной прокуратуры РФ по надзору за исполнением законов о федеральной безопасности и межнациональных отношениях на Северном Кавказе, которым руководил Владимир Устинов. Возглавил управление в 1999 г., после назначения Устинова генпрокурором РФ.
Имя Юрия Бирюкова упоминалось в СМИ в связи с убийством в июне 1998 г. в Элисте Ларисы Юдиной, главного редактора газеты "Советская Калмыкия", сопредседателя местного отделения партии "Яблоко". По словам коллег Юдиной, она неоднократно обращалась к прокурору города с заявлениями о преследованиях "со стороны республиканских властей", однако никаких мер по ее защите предпринято не было.
В 2000-2006 гг. - первый заместитель генерального прокурора РФ Владимира Устинова. Был назначен на должность 7 июня 2000 г. В сферу его обязанностей входил надзор за исполнением федерального законодательства РФ, а также приведение региональных нормативных баз в соответствие с федеральным законодательством.
СМИ неоднократно обвиняли Бирюкова в "давлении на следствие", в частности, в деле о хищении из МАПО "МиГ", где в числе подозреваемых проходил бывший замминистра финансов Андрей Вавилов. Самый большой резонанс в СМИ получило решение прокуратуры прекратить расследование дела о реализации контрабандной мебели через торговые центры "Три кита" и "Гранд", возбужденного в 2000 г.
В апреле 2002 г. Пресненский межмуниципальный суд Москвы удовлетворил иск Бирюкова к газете "Московский комсомолец" и журналисту Александру Хинштейну и постановил дать опровержение статей, в которых Хинштейн обвинил Бирюкова в пособничестве чеченским боевикам.
В июне 2003 г. журналист, депутат Госдумы РФ Юрий Щекочихин в статье, опубликованной в "Новой газете", назвал Бирюкова "серым кардиналом Генпрокуратуры", который "разваливает" громкие уголовные дела. В октябре 2003 г. Басманный суд Москвы частично удовлетворил иск Бирюкова к "Новой газете", обязав выплатить истцу 600 тыс. руб. (иск был заявлен на 11 млн. руб.).
7 июля 2006 г., вскоре после назначения новым генпрокурором РФ Юрия Чайки и возобновления расследования по т. н. "делу о "Трех китах", Бирюков вышел на пенсию.
С 2006 по 2019 г. - член Совета Федерации РФ.
Был наделен полномочиями сенатора, представителя администрации Ненецкого автономного округа 14 декабря 2006 г. За его кандидатуру проголосовали четыре депутата окружного парламента (против - шесть, пять воздержались). Сенаторские полномочия были подтверждены верхней палатой парламента 22 декабря того же года. В Совете Федерации Юрий Бирюков был членом комитета по конституционному законодательству, правовым и судебным вопросам, развитию гражданского общества, комиссии по Регламенту и организации парламентской деятельности и др. В 2007-2011 гг. - заместитель председателя комитета по правовым и судебным вопросам. Полномочия Бирюкова как сенатора от Ненецкого автономного округа истекли в сентябре 2014 г.
В 2014 г. он вновь стал членом Совета Федерации РФ, но от администрации Республики Калмыкия. Соответствующий указ был подписан главой республики Алексеем Орловым. Вошел в комитет СФ РФ по конституционному законодательству и государственному строительству. В октябре 2019 г. место сенатора от правительства Калмыкии занял Алексей Орлов, бывший глава республики.
Общая сумма декларированного дохода за 2016 г. составила 6 млн 48 тыс. руб., супруги - 2 млн 72 тыс. руб.
Общая сумма декларированного дохода за 2017 г. составила 6 млн руб., супруги - 972 тыс. руб.
Общая сумма декларированного дохода за 2018 г. составила 6 млн 566 тыс. руб., супруги - 2 млн 349 тыс. руб.
Награжден орденами Мужества (2000), орденом "За заслуги перед Отечеством" IV и II степеней (2002, 2005).
Государственный советник юстиции I класса.
Заслуженный юрист России (1999).
Автор книг "ЮКОС. Отмывание денег" (2009), "ЮКОС. Без политики" (2011) и др.