Родился 1 декабря 1925 г. в г. Червона Каменка Кировоградской области Украинской ССР (ныне Украина). Его отец был землемером, позднее работал на металлургическом заводе, был прорабом. С начала 1930-х гг. семья Бобковых жила в г. Макеевке Донецкой области Украины (ныне Донецкая Народная Республика РФ), затем, с октября 1941 г., находилась в эвакуации в г. Ленинске-Кузнецком Кемеровской области.
В 1946 г. Филипп Бобков окончил Ленинградскую школу Главного управления контрразведки СМЕРШ, в 1956 г. - заочно Высшую партийную школу при Центральном комитете (ЦК) Коммунистической партии Советского Союза (КПСС).
В 1941-1942 гг. работал на строительстве завода подземной газификации углей в г. Ленинске-Кузнецком, был комсоргом строительства, затем заведующим отделом городского комитета комсомола.
Осенью 1942 г. добровольно ушел на фронт. Участвовал в Ржевско-Вяземской (1943), Смоленской (1943) и Прибалтийской (1944) наступательных операциях, был дважды ранен.
В 1944 г. вступил в КПСС.
С 1945 г. служил в советских органах госбезопасности. В 1946-1953 гг. - в 5-м (оперативном и секретно-политическом) управлении Министерства государственной безопасности (МГБ) СССР. Начинал помощником оперуполномоченного, затем был оперуполномоченным, старшим оперуполномоченным, с 1952 г. - начальником 2-го, затем 3-го отделения 1-го отдела (агентурная работа по заданиям центрального аппарата) 5-го управления МГБ.
В 1953-1954 гг. - помощник начальника 1-го отдела 4-го (секретно-политического) управления Министерства внутренних дел СССР – начальник 1-го отделения (вербовка, наблюдение за бывшими членами небольшевистских партий и организаций).
В 1954-1955 гг. - заместитель начальника 1-го отдела 4-го управления Комитета государственной безопасности при Совете министров СССР (с 1978 г. - Комитет государственной безопасности СССР). Одновременно являлся секретарем парторганизации КПСС 4-го управления КГБ.
С 1955 по 1960 г. - начальник 1-го отдела (борьба с т. н. антисоветскими группами) 4-го управления КГБ. На эти годы пришелся пик политических репрессий в СССР в послесталинский период: за "антисоветскую агитацию и пропаганду" были осуждены 4 тыс. 676 человек или 71,4% от общего числа осужденных по этой статье в 1953-1985 гг. Большинство репрессированных пострадали за критические высказывания о советской действительности.
В 1960-1961 гг. - начальник 10-го отдела (агентурная разработка иностранцев и лиц, контактирующих с ними) 2-го Главного управления (контрразведка) КГБ.
С 1961 по 1967 г. - заместитель начальника 2-го Главного управления КГБ. В 1965 г. присвоено звание генерал-майора.
С 15 августа 1967 г. по 23 мая 1969 г. - первый заместитель начальника 5-го управления (борьба с т. н. идеологическими диверсиями) КГБ при Совмине СССР. Главой управления был Семен Цвигун.
С 23 мая 1969 г. по 18 января 1983 г. - начальник 5-го управления КГБ. Председателями КГБ СССР в этот период были Юрий Андропов (до мая 1982 г.), Виталий Федорчук (май - декабрь 1982 г.) и Виктор Чебриков (с декабря 1982 г.). Пятое управление КГБ вело борьбу с организациями русской эмиграции, диссидентским и религиозным движением в СССР, с распространением критической информации о советской действительности, осуществляло наблюдение и вербовку в среде студенчества, лиц творческих профессий, учившихся в СССР иностранцев, занималось мониторингом межнациональных отношений и конфликтов в СССР и др.
В 1972 г. Филиппу Бобкову было присвоено звание генерал-лейтенанта.
С 16 февраля 1982 г. по 18 января 1983 г. он занимал пост заместителя председателя КГБ СССР – начальника 5-го управления КГБ СССР.
С 18 января 1983 г. по 5 декабря 1985 г. - заместитель председателя, с 5 декабря 1985 г. по 29 января 1991 г. – первый заместитель председателя КГБ СССР (в 1988 г. комитет возглавил Владимир Крючков).
В 1984 г. Филипп Бобков получил звание генерал-полковника.
В 1986-1990 гг. являлся членом Центрального комитета КПСС. С 1987 г. - генерал армии.
В 1990-1992 гг. – народный депутат РСФСР. 4 марта 1990 г. был избран по национально-территориальному округу №122 (Северо-Осетинская АССР). 14 мая 1992 г. депутатские полномочия Филиппа Бобкова были прекращены досрочно по его личному заявлению.
С января 1991 г. входил в группу генеральных инспекторов Министерства обороны СССР.
В 1992-1996 гг. возглавлял аналитическую службу холдинга "Группа "Мост" предпринимателя Владимира Гусинского.
Позднее работал консультантом телекомпании НТВ. После выезда Владимира Гусинского за границу в 2000 г. Филипп Бобков стал советником генерального директора РИА "Новости".
Также в начале 2000-х гг. был советником директора Института социально-политических исследований РАН Геннадия Осипова.
С 2008 г. входил в группу генеральных инспекторов Министерства обороны РФ.
17 июня 2019 г. Филипп Бобков скончался в Москве на 94-м году жизни после продолжительной болезни. Похоронен на Троекуровском кладбище столицы.
Был награжден тремя орденами Ленина, орденами Октябрьской Революции, Отечественной войны I степени, Трудового Красного Знамени, Славы III степени (1943). Также имел две медали "За отвагу" (1943), медали "За боевые заслуги", "За победу над Германией" и др.
Автор книги воспоминаний "КГБ и власть" (1995).
Был женат, имел двух сыновей. Супруга - Людмила Сергеевна Бобкова, работала инженером-экономистом в Министерстве путей сообщения СССР и других организациях. Старший сын Сергей (род. 1948) - поэт, был секретарем Союза писателей СССР по иностранным делам. Младший - Алексей (1956-2005) – ученый-вирусолог, доктор биологических наук.