Родился 3 мая 1951 г. в селе Бобрышеве Пристенского района Курской области.
В 1973 г. окончил Воронежский технологический институт (ныне - Воронежский государственный университет инженерных технологий) по специальности "технология бродильных производств" с присвоением квалификации инженера-технолога, в 1980 г. – университет марксизма-ленинизма Новгородского обкома КПСС (факультет партийно-хозяйственного актива).
С 1973 по 1980 г. работал на Новгородском пиво-солодовенном заводе (г. Новгород; с 1999 г. - Великий Новгород). Был технологом, главным пивоваром, с 1974 г. - главным инженером завода. В 1975 г. назначен главным инженером Новгородского производственного объединения пивоваренной и безалкогольной промышленности.
С апреля 1980 г. - главный инженер, с апреля 1981 г. - генеральный директор Новгородского производственного объединения спиртовой и ликеро-водочной промышленности.
С марта 1986 г. по февраль 1987 г. работал в Агропромышленном комитете Новгородской области. Был главным инженером группы специалистов, затем - руководителем отдела пищевой промышленности.
Также в 1986 г. занимал пост генерального директора - начальника производственного объединения пищевой промышленности "Новгородагропищепром". В 1987-1990 гг. - генеральный директор "Новгородпищеагропром", который в 1990 г. был реорганизован в государственное кооперативное объединение "Новгородпищепром" (головное предприятие - винно-водочный завод "Новгородский"). В 1990-1992 гг. – генеральный директор, председатель совета директоров объединения "Новгородпищепром", директор завода "Новгородский".
С мая 1992 г. по ноябрь 2007 г. - генеральный директор акционерного общества "Алкон" (образовано на базе завода "Новгородский"). Запатентовал несколько рецептов алкогольной продукции, в т. ч. джина "Алкон", настойки "Марфа посадница" и др.
С декабря 2007 г. по март 2008 г. - первый заместитель главы администрации Великого Новгорода. Одновременно исполнял обязанности мэра города в связи с отставкой бывшего градоначальника Николая Гражданкина.
С марта 2008 г. по декабрь 2018 г. - мэр Великого Новгорода. Был избран 2 марта 2008 г. на досрочных выборах, набрав 75,54% голосов. Переизбран 8 сентября 2013 г. с результатом 38,56%.
В мае 2015 г. управление Следственного комитета РФ по Новгородской области возбудило в отношении Юрия Бобрышева уголовное дело по обвинению в неисполнении судебного решения о предоставлении жилья детям-сиротам. 7 мая прокуратура Новгородской области признала возбуждение дела незаконным из-за "процессуальных нарушений". 29 мая того же года городская дума отправила Юрия Бобрышева в отставку с поста мэра. Однако он оспорил это решение, и 28 августа суд восстановил его в должности. 2 ноября 2015 г. Бобрышеву вновь было предъявлено обвинение в неисполнение решений суда о предоставлении жилья сиротам, а 6 ноября в отношении него возбудили новое дело о превышении должностных полномочий. По версии следствия, мэр незаконно распорядился частью гранта в 1,1 млн евро международной Северной финансовой корпорации по охране окружающей среды НЕФКО. Впоследствии оба дела были прекращены.
9 января 2018 г. Юрий Бобрышев был назначен заместителем председателя правительства Новгородской области (глава правительства - губернатор области Андрей Никитин).
26 мая 2019 г. принял участие в предварительном голосовании (праймериз) партии "Единая Россия" по отбору кандидатов на довыборы в Госдуму VII созыва по Новгородскому одномандатному избирательному округу №134. Место в Думе стало вакантно после смерти депутата Александра Коровникова от "Единой России". Занял на праймериз первое место с результатом 80,64%.
В 2019-2021 гг. - депутат Государственной думы VII созыва. Был избран 8 сентября 2019 г. на довыборах по Новгородскому одномандатному избирательному округу №134 (баллотировался от "Единой России"). Получил 35,39% голосов. Второе место на выборах заняла руководитель аппарата фракции КПРФ в Госдуме Нина Останина (20,33%).
19 сентября 2021 г. избран депутатом Новгородской областной думы VII созыва по списку регионального отделения партии "Единая Россия" (Псковская региональная группа №4, второй номер в списке). С 6 октября 2021 г. занимает пост председателя заксобрания региона.
Награжден орденом "Знак Почета" (1984).
Имеет почетное звание "Заслуженный работник пищевой индустрии России" (1999).
Кандидат в мастера спорта по теннису.