Родился 23 февраля 1961 г. в д. Гриденки Стародубского района Брянской области.
В 1983 г. окончил Брянский технологический институт (ныне Брянский государственный инженерно-технологический университет) по специальности "инженер-механик".
Кандидат сельскохозяйственных наук. В 2008 г. в Брянской государственной сельскохозяйственной академии защитил диссертацию на тему "Сравнительная эффективность технологий возделывания различных сортов картофеля на серых лесных почвах юго-западной части Центрального региона России".
С 1977 г. был учеником оператора, затем токарем цеха на Брянском заводе дорожных машин.
С 1983 по 1998 г. работал в совхозе "Берновичский" Стародубского района Брянской области инженером, заместителем директора.
В 1998-2003 гг. - главный инженер производственного управления "Стародубрайгаз" ОАО "Брянскоблгаз".
В 2003 г. был назначен первым заместителем главы администрации Стародубского района Брянской области.
В 2006 г. занял должность главы Меленского сельского поселения, председателя сельского Совета народных депутатов (Стародубский район).
2 декабря 2007 г. баллотировался в Государственную думу РФ V созыва от партии "Справедливая Россия: Родина/Пенсионеры/Жизнь" (ныне "Справедливая Россия"). Занимал шестую позицию в списке региональной группы №37 (Брянская область). По итогам распределения мандатов в Думу не прошел.
В 2009-2012 гг. - депутат Брянской областной думы. 1 марта 2009 г. был избран по Стародубскому одномандатному округу №28. Выдвигался от Брянского регионального отделения партии "Единая Россия". На выборах получил 63,16% голосов избирателей. Его ближайший соперник, кандидат от КПРФ Виктор Тараканов, набрал 25,19%.
С 2009 по 2012 г. вместе с супругой руководил крестьянско-фермерским хозяйством "Богомаз О. А." в Стародубском районе Брянской области. Также возглавлял компании "Надежда" и "Брянскагро", которые вместе с фермерским хозяйством осуществляли полный цикл работ по производству, упаковке и продаже картофеля.
Был председателем совета директоров ООО "Картофельный альянс".
В 2011 г. принял участие в предварительном голосовании (праймериз) партии "Единая Россия" и Общероссийского народного фронта по отбору кандидатов в Государственную думу РФ. Занял шестое место и был включен в предвыборный список кандидатов от "Единой России" под номером три в региональной группе №35 от Брянской области. Однако по итогам распределения мандатов после парламентских выборов 4 декабря 2011 г. место в Думе не получил.
В 2012-2014 гг. - депутат Государственной думы РФ VI созыва. 7 ноября 2012 г. Александру Богомазу был передан освободившийся мандат Андрея Бочарова, который перешел на на должность главного федерального инспектора Брянской области. Александр Богомаз входил в комитеты Госдумы по аграрным вопросам, по науке и наукоемким технологиям. Состоял во фракции "Единая Россия". Его депутатские полномочия были прекращены досрочно 16 сентября 2014 г.
9 сентября 2014 г. Александр Богомаз был назначен временно исполняющим обязанности губернатора Брянской области. Сменил во главе региона Николая Денина, который в тот же день был отрешен от должности указом президента РФ Владимира Путина в связи с утратой доверия.
13 сентября 2015 г. он одержал победу на выборах губернатора Брянской области, набрав 79,96% голосов (баллотировался от партии "Единая Россия"). Его ближайший соперник, кандидат от "Патриотов России" Михаил Ивако, получил 9,61%. 28 сентября того же года Александр Богомаз вступил в должность.
В единый день голосования 13 сентября 2020 г. вновь был избран губернатором Брянской области. За него проголосовали 71,69% избирателей (баллотировался от партии "Единая Россия"). Второе место занял первый секретарь Брянского областного отделения КПРФ Андрей Архицкий с результатом 10,09%. 22 сентября 2020 г. состоялась инаугурация избранного губернатора. Одновременно является председателем правительство Брянской области.
С ноября 2019 г. - секретарь брянского регионального отделения партии "Единая Россия". Входит в состав президиума политсовета местного отделения партии.
Отмечен Почетной грамотой президента РФ (2018).