Родился 23 февраля 1961 г. в д. Гриденки Стародубского района Брянской области.
В 1983 г. окончил Брянский технологический институт (ныне Брянский государственный инженерно-технологический университет) по специальности "инженер-механик".
Кандидат сельскохозяйственных наук. В 2008 г. в Брянской государственной сельскохозяйственной академии защитил диссертацию на тему "Сравнительная эффективность технологий возделывания различных сортов картофеля на серых лесных почвах юго-западной части Центрального региона России".
С 1977 г. был учеником оператора, затем токарем цеха на Брянском заводе дорожных машин.
С 1983 по 1998 г. работал в совхозе "Берновичский" Стародубского района Брянской области инженером, заместителем директора.
В 1998-2003 гг. - главный инженер производственного управления "Стародубрайгаз" ОАО "Брянскоблгаз".
В 2003-2004 гг. был первым заместителем главы администрации Стародубского района.
Занимал должность главы Меленского сельского поселения, председателя сельского совета народных депутатов (Стародубский район).
2 декабря 2007 г. баллотировался в Государственную думу V созыва от партии "Справедливая Россия: Родина/Пенсионеры/Жизнь" (ныне "Справедливая Россия - Патриоты - За правду"). Баллотировался под №6 в региональной группе №37 (Брянская область). По итогам распределения мандатов в Госдуму не прошел.
В 2009-2012 гг. - депутат Брянской областной думы. 1 марта 2009 г. был избран по Стародубскому одномандатному округу №28 от партии "Единая Россия", получив 63,16% голосов избирателей. Его ближайший соперник, кандидат от КПРФ Виктор Тараканов, набрал 25,19%.
С 2009 по 2012 г. руководил крестьянско-фермерским хозяйством "Богомаз" в Стародубском районе Брянской области.
В 2011 г. принял участие в предварительном голосовании (праймериз) партии "Единая Россия" и Общероссийского народного фронта по отбору кандидатов в Государственную думу, по итогам которого был включен в предвыборный список кандидатов от "Единой России" (№3 региональной группы №35, Брянская область). Участвовал в думских выборах 4 декабря 2011 г., но по итогам распределения мандатов место в Думе не получил.
В 2012-2014 гг. - депутат Государственной думы VI созыва. 7 ноября 2012 г. Александру Богомазу был передан освободившийся мандат Андрея Бочарова, занявшего должность главного федерального инспектора Брянской области. В Госдуме входил во фракцию "Единая Россия", комитеты по аграрным вопросам, по науке и наукоемким технологиям. Депутатские полномочия были прекращены досрочно 16 сентября 2014 г.
С 2014 г. Александр Богомаз возглавляет Брянскую область.
9 сентября 2014 г. указом президента РФ Владимира Путина был назначен временно исполняющим обязанности губернатора Брянской области. Сменил во главе региона Николая Денина, отправленного в отставку в связи с утратой доверия главы государства.
13 сентября 2015 г. одержал победу на прямых выборах губернатора региона, набрав 79,96% голосов избирателей (баллотировался от партии "Единая Россия"). Его ближайший соперник, директор Фокинского комбината строительных материалов и депутат Брянской облдумы Михаил Ивако ("Патриоты России"), получил 9,61%. 28 сентября того же года Александр Богомаз официально вступил в должность.
В единый день голосования 13 сентября 2020 г. вновь был избран губернатором Брянской области. За него проголосовали 71,69% избирателей (был выдвинут "Единой Россией"). Второе место на выборах занял первый секретарь брянского обкома КПРФ Андрей Архицкий (10,09%). 22 сентября 2020 г. состоялась инаугурация избранного губернатора.
14 сентября 2025 г. в третий раз победил на прямых выборах губернатора региона, получив 78,78% голосов избирателей (баллотировался от партии "Единая Россия"). Его ближайший соперник, первый секретарь комитета брянского отделения КПРФ и депутат областной думы Андрей Архицкий (от КПРФ), набрал 10,72%. 19 сентября 2015 г. Александр Богомаз принял присягу.
Член Государственного совета РФ.
Входит в состав высшего совета партии "Единая Россия". Секретарь брянского регионального отделения партии (с ноября 2019 г.). Председатель регионального общественного совета федерального партийного проекта "Выбор сильных".
Награжден орденом Дружбы (2021), Почетной грамотой президента РФ (2018).