Родился 17 августа 1974 г. в пос. Кунья Псковской области.
В 1997 г. окончил Северо-Западную академию государственной службы (филиал) Российской академии государственной службы при президенте РФ по направлению "государственное и муниципальное управление" (специальность - "менеджер").
Является выпускником т. н. школы губернаторов. Программа подготовки кадрового управленческого резерва государственной службы была запущена в июне 2017 г. на базе Высшей школы государственного управления (ВШГУ) и подготовлена на основе программ Корпоративного университета Сбербанка, Московской школы управления "Сколково", РАНХиГС и Высшей школы экономики.
После окончания академии, работал в Санкт-Петербурге юристом компании "ЛенКорт".
В 1998-1999 гг. возглавлял отдел по управлению недвижимостью Завода электробытовой аппаратуры, который входил в состав одного из крупнейших российских оборонных холдингов "Ленинец". Генеральным директором завода был Андрей Турчак, сын руководителя холдинга, впоследствии - губернатор Псковской области (2009-2017), секретарь генсовета партии "Единая Россия" (с 2017 г.).
С 1999 по 2001 г. занимал должность заместителя генерального директора по управлению недвижимостью ОАО "Завод "Ленинец" (с 2001 г. - ОАО "НТЦ "Завод Ленинец", с 2014 г. - АО "Заслон").
В 2001-2009 гг. - первый заместитель генерального директора ОАО "Механический завод" (Санкт-Петербург).
С 2005 по 2009 г. - начальник центрального штаба Всероссийской общественной организации "Молодая гвардия "Единой России" (МГЕР), в координационный совет которой входили Андрей Турчак и Александр Горбунов.
Александр Борисов был также заместителем начальника федерального молодежного избирательного штаба, созданного по инициативе МГЕР. В 2008 г. координировал деятельность по проведению массовых акций партии "Единая Россия".
С 2009 по 2017 г. - член Совета Федерации Федерального собрания РФ от законодательного органа государственной власти Псковской области. Сменил в верхней палате парламента Андрея Турчака, который в марте того же года был наделен полномочиями губернатора Псковской области.
В 2009-2011 гг. Александр Борисов был заместителем председателя комиссии Совета Федерации по делам молодежи и туризму. С 2013 г. занимал пост заместителя председателя комитета по социальной политике. Полномочия члена Совета Федерации были прекращены досрочно с 27 октября 2017 г.
В 2011 и 2016 гг. избирался депутатом Псковского областного собрания депутатов V и VI созывов по списку партии "Единая Россия" (группа №18). Оба раза сдавал мандат в связи с исполнением полномочий сенатора.
В 2017-2021 гг. возглавлял центральный исполнительный комитет "Единой России". 9 ноября 2017 г. президиум генсовета "Единой России" утвердил Александра Борисова врио главы центрального исполкома партии. 11 января 2018 г. он занял должность главы ЦИК решением президиума генсовета "Единой России".
С 2021 г. - депутат Государственной думы РФ VIII созыва. Был избран 19 сентября 2021 г. от партии "Единая Россия". Баллотировался под четвертым номером региональной группы №40 (Ленинградская, Псковская обл.) федерального списка кандидатов. По итогам распределения мест депутатский мандат не получил, однако 29 сентября 2021 г. ему был передан вакантный мандат губернатора Псковской области Михаила Ведерникова. С 7 октября 2021 г. - руководитель внутрифракционной группы - заместитель руководителя фракции "Единая Россия" Владимира Васильева.
Член президиума генерального совета "Единой России" (с декабря 2017 г.).
Имеет благодарность президента РФ.