Родился 25 июля 1972 г. в Москве. Отец - философ Юрий Мефодьевич Бородай (1934-2006).
В 1994 г. окончил философский факультет Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, затем учился в аспирантуре вуза.
В 1992 г. принимал участие в вооруженном конфликте в Приднестровье. Во время событий 21 сентября - 5 октября 1993 г. в Москве Александр Бородай входил в число боевых групп, защищавших Верховный совет.
В 1994-1996 гг. был военным корреспондентом РИА Новости, занимался освещением чеченского конфликта. С 1996 г. работал в газете "Завтра" корреспондентом, военным обозревателем. В 1999 г. стал соучредителем, генеральным директором консалтингового агентства ООО "Социомастер" (ликвидирована в 2019 г.).
В 2012 г. стал главным редактором телеканала на YouTube "День-ТВ" - видеоприложения к газете "Завтра".
В начале 2010-х гг. работал политическим консультантом на Украине.
В февраля - мае 2014 г. являлся внештатным советником главы Республики Крым Сергея Аксенова.
16 мая 2014 г. решением Верховного Совета Донецкой Народной Республики (ДНР) был провозглашен председателем совета министров этой провозглашенной республики. 8 августа 2014 г. покинул этот пост, заявив, что успешно завершил работу "кризисного менеджера", превратив ДНР в "настоящее государство". После этого до 21 октября 2014 г. был генеральным советником - первым заместителем нового председателя совета министров ДНР Александра Захарченко.
С октября 2014 г. - соучредитель, председатель правления межрегиональной общественной организации "Союз добровольцев Донбасса" (официально организация была зарегистрирована в сентябре 2015 г.). Также работал заместителем генерального директора по развитию на телеканале "Царьград".
С 2021 г. - депутат Государственной думы РФ VIII созыва. Участвовал в выборах в Госдуму 19 сентября 2021 г. по списку "Единой России" (восьмой номер региональной группы №45, Ростовская обл.). По итогам распределения мест в Госдуму не прошел, однако 4 октября 2021 г. получил вакантный депутатский мандат по списку партии. С 2 октября 2021 г. - заместитель председателя комитета Госдумы РФ по делам СНГ, евразийской интеграции и связям с соотечественниками.
После объявления в России 21 сентября 2022 г. частичной мобилизации Александр Бородай, невзирая на депутатскую бронь, выразил готовность направиться добровольцем в зону проведения специальной военной операции (СВО) на Украине.
В 2014 г. Александру Бородаю было присвоено звание "Герой ДНР".