Родился 6 апреля 1963 г. в с. Тамыш Очамчирского района Абхазской АССР (ныне Республика Абхазия) в семье учителей.
В 1980 г. Аслан Бжания поступил во Фрунзенский политехнический институт (ныне Киргизский государственный технический университет имени И. Раззакова), где проучился два года. Затем перевелся в Московский автомобильно-дорожный институт (ныне Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет, МАДИ), окончил его в 1985 г. по специальности "инженер-строитель". В 1991 г. окончил Высшие курсы КГБ СССР (Минск, Белоруссия), в 1999 г. - Академию народного хозяйства при правительстве РФ (ныне Российская академия народного хозяйства и государственной службы при президенте РФ).
В 1985-1986 гг. работал по распределению инженером-строителем в управлении капитального строительства Угранского леспромхоза Смоленской области.
С 1987 по 1989 г. был инструктором, заведующим отделом Очамчирского районного комитета комсомола (Абхазия).
В 1991 г. - оперуполномоченный КГБ Абхазской АССР.
С 1992 по 1993 г., во время грузино-абхазского конфликта, служил в органах госбезопасности Абхазии (г. Гудаута).
После увольнения в запас в декабре 1999 г. занимался предпринимательской деятельностью в России.
В 2009-2010 гг. Аслан Бжания был советником по экономическим вопросам посольства Республики Абхазия в РФ.
24 февраля 2010 г. был назначен председателем Службы государственной безопасности Абхазии.
24 августа 2014 г. участвовал во внеочередных выборах президента Абхазии. Занял второе место (35,91% голосов), уступив лидеру оппозиции Раулю Хаджимбе (50,60%).
В апреле 2015 г. возглавил Фонд социально-экономических и политических исследований "Апра".
В июле того же года стал сопредседателем Блока оппозиционных сил Абхазии.
26 марта 2017 г. был избран депутатом Народного собрания Абхазии VI созыва.
22 марта 2020 г. Аслан Бжания одержал победу на повторных выборах президента Абхазии, набрав 56,5% голосов избирателей. Его ближайший соперник, министр экономики республики Адгур Ардзинба, получил 35,42%. После своего избрания Бжания заявил, что особое внимание намерен уделять сближению Абхазии с Россией. Кроме того, он выразил готовность к сотрудничеству с оппозицией, а также высказался о необходимости разграничения ряда полномочий между главой государства и парламентом. Инаугурация избранного президента состоялась 23 апреля 2020 г.
19 ноября 2024 г. на фоне внутриполитического кризиса депутаты парламента Абхазии приняли решение об отставке президента страны Аслана Бжании (за 28 из 31). И. о. главы республики был назначен действующий вице-президент Бадра Гунба.
Имеет гражданство Абхазии и РФ.
Генерал-майор (2014).
Награжден российским орденом Дружбы (2014).
Женат, имеет двоих детей.