Родился 6 апреля 1963 г. в с. Тамыш Очамчирского района Абхазской АССР (ныне Республика Абхазия). Отец - Георгий Ашхангереевич, работал директором Тамышской средней школы, преподавал русский язык, литературу и историю, возглавлял Тамышский сельский совет народных депутатов. Мать - Венера Григорьевна, была учительницей начальных классов.
В 1980 г. Аслан Бжания поступил во Фрунзенский политехнический институт (ныне Киргизский государственный технический университет имени И. Раззакова), где проучился два года. Затем перевелся в Московский автомобильно-дорожный институт (ныне Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет, МАДИ), окончил его в 1985 г. по специальности "инженер-строитель". В 1991 г. окончил Высшие курсы КГБ СССР (Минск, Белоруссия), в 1999 г. - Академию народного хозяйства при Правительстве РФ (ныне Российская академия народного хозяйства и государственной службы при президенте РФ).
В 1985-1986 гг. работал по распределению инженером-строителем в управлении капитального строительства Угранского леспромхоза Смоленской области.
С 1987 по 1989 г. был инструктором, заведующим отделом Очамчирского районного комитета комсомола.
В 1991 г. - оперуполномоченный КГБ Абхазской АССР. Во время грузино-абхазского конфликта, с 1992 по 1993 г., служил в органах госбезопасности Республики Абхазия в г. Гудаута.
После увольнения в запас в декабре 1999 г. в течение десяти лет занимался предпринимательской деятельностью в России.
В 2009-2010 гг. Аслан Бжания был советником по экономическим вопросам посольства Республики Абхазия в РФ.
24 февраля 2010 г. указом президента республики Сергея Багапша был назначен председателем Службы государственной безопасности Абхазии.
В конце мая 2014 г. во время массовых митингов абхазской оппозиции, требовавшей отставки действующего президента Александра Анкваба, Аслан Бжания выступал на стороне действующего главы республики. После отставки Анкваба 1 июня 2014 г. продолжил исполнять обязанности председателя Службы госбезопасности Абхазии.
24 августа 2014 г. участвовал во внеочередных президентских выборах. Занял второе место (35,91% голосов), уступив лидеру оппозиции Раулю Хаджимбе (50,60%).
В апреле 2015 г. Аслан Бжания возглавил Фонд социально-экономических и политических исследований "АПРА".
В июле того же года стал сопредседателем Блока оппозиционных сил Абхазии.
26 марта 2017 г. был избран депутатом Народного собрания Абхазии VI созыва.
Весной 2019 г. Аслан Бжания одним из первых заявил о своем намерении участвовать в очередных президентских выборах, намеченных на 21 июля 2019 г. Однако 18 апреля он был доставлен в одну из больниц Москвы (РФ) в тяжелом состоянии с диагнозом "вирусная пневмония". По словам самого политика, на него было совершено покушение. Под давлением сторонников Бжании дата голосования была перенесена на более поздний срок - 25 августа 2019 г. Однако впоследствии он отказался от участия в выборах по состоянию здоровья и поддержал в качестве кандидата в президенты лидера оппозиционной партии "Амцахара" Алхаса Квициниа.
9 января 2020 г. в Сухуме произошли массовые беспорядки, организованные оппозицией. Протестующие, требуя отставки действующего президента Рауля Хаджимбы, захватили здание администрации главы республики. На следующий день Верховный суд Абхазии отменил итоги президентских выборов 2019 г., после чего ЦИК назначил повторное голосование на 22 марта 2020 г. 13 января парламент Абхазии принял отставку Хаджимбы с поста президента.
28 января 2020 г. инициативная группа выдвинула Аслана Бжанию кандидатом в президенты Республики Абхазия.
2 марта 2020 г. стало известно, что Бжания в тяжелом состоянии поступил в одну из больниц г. Сочи (Краснодарский край, РФ). Его сторонники заявили, что на кандидата было совершено покушение и якобы он был отравлен. Однако расследование, проведенное прокуратурой Абхазии, не подтвердило эту версию.
22 марта 2020 г. в ходе повторных президентских выборов Аслан Бжания был избран главой Республики Абхазия, набрав 56,5% голосов. Его ближайший соперник, министр экономики республики Адгур Ардзинба, получил 35,42%. После своего избрания Бжания заявил, что особое внимание намерен уделять сближению Абхазии с Россией. Кроме того, он выразил готовность к сотрудничеству с оппозицией, а также высказался о необходимости разграничения ряда полномочий между главой государства и парламентом. Инаугурация избранного президента состоялась 23 апреля 2020 г.
Аслан Бжания имеет гражданство Абхазии и РФ.
Генерал-майор (2014).
Награжден орденом Дружбы (Россия, 2014; за содействие в организации безопасности Зимних Олимпийских и Паралимпийских игр в г. Сочи).
Женат, имеет двоих детей. Супруга - Аэлита Максимовна Ахиба (род. 1963), по образованию юрист. Дочь - Аэлина (род. 1987), окончила Первый Московский государственный медицинский университет им. И. М. Сеченова. Сын - Максим (род. 1991), окончил Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова по специальности "мировая политика", предприниматель.