Родился 13 июня 1961 г. в г. Севастополе. Дед - Василий Филиппович, военный моряк, вице-адмирал, командовал эсминцем, дивизионом, эскадрой, был первым заместителем командующего Черноморским флотом.
В 1981 г. окончил Севастопольское высшее военно-морское инженерное училище, в 1983 г. - Севастопольский приборостроительный институт (заочно) по специальности "техническая кибернетика, автоматика и телемеханика".
В 1981-1982 гг. работал в специализированном монтажно-эксплуатационном управлении ГАИ г. Севастополя (Украинская ССР).
С 1982 г. - инженер, а с 1986 г. - младший научный сотрудник лаборатории электрических аппаратов Севастопольского приборостроительного института.
В 1986-1988 гг. - руководитель лаборатории электрических аппаратов специального конструкторского бюро при Севастопольском приборостроительном институте. В ноябре 1990 г. лаборатория была преобразована в научно-производственное предприятие "Таврида электрик", Алексей Чалый стал его генеральным директором.
С 1993 г. по 2014 г. занимал должность технического и генерального директора промышленной группы "Таврида электрик".
Осенью 2013 г. высказался против заключения соглашения об ассоциации Украины с Евросоюзом. Выступил инициатором обращения к президенту Украины Виктору Януковичу с просьбой не подписывать соглашение. Обращение было обнародовано 19 ноября 2013 г. Спустя несколько дней кабмин Украины приостановил подготовку к принятию документа. Это привело к массовым акциям протеста сторонников евроинтеграции, которые в результате привели в феврале 2014 г. к госперевороту и отстранению от власти президента Украины Виктора Януковича.
23 февраля 2014 г. в Севастополе состоялся многотысячный митинг, на котором Алексей Чалый был провозглашен "народным мэром" города. Вечером 24 февраля городской совет утвердил его председателем координационного совета по организации городского управления по обеспечению жизнедеятельности Севастополя.
18 марта 2014 г. президент России Владимир Путин, председатель Совета министров Крыма Сергей Аксенов, председатель Государственного Совета Крыма Владимир Константинов и Алексей Чалый подписали Договор о принятии Республики Крым и г. Севастополя в состав РФ.
С 1 по 14 апреля 2014 г. исполнял обязанности губернатора г. Севастополя.
В апреле 2014 г. занял должность генерального директора Агентства стратегического развития Севастополя.
14 сентября 2014 г. избран депутатом Законодательного собрания г. Севастополя I созыва от Севастопольского регионального отделения партии "Единая Россия" (баллотировался под №1 в списке).
22 сентября 2014 г. был избран председателем заксобрания Севастополя. 29 декабря 2015 г. подал в отставку. По словам Алексея Чалого, "работа власти неудовлетворительна на данном отчетном этапе", и он несет за это ответственность как человек, который возглавлял список партии на выборах. 16 марта 2016 г. Алексей Чалый внес в парламент Севастополя постановление о досрочном прекращении своих полномочий председателя. 22 марта того же года депутаты заксобрания региона приняли его отставку.
Награжден орденом "За заслуги перед Отечеством" I степени (2014).
Лауреат международной премии Андрея Первозванного "За веру и верность" (2012).
Автор более 30 изобретений и патентов, 52 научных трудов.