Родился 3 октября 1980 г. в г. Минске Белорусской ССР (ныне Республика Белоруссия). Его отец - Олег Федорович Чекунков, в 1998-2001 гг. был чрезвычайным и полномочным послом Белоруссии во Вьетнаме.
В 2001 г. Алексей Чекунков окончил факультет международных экономических отношений Московского государственного института международных отношений Министерства иностранных дел РФ.
В 2002-2003 гг. работал директором проектов в инвестиционной группе “Алроса”. Участвовал в проектах по объединению ряда золотодобывающих активов в Якутии.
В 2003-2006 гг. был специалистом, затем вице-президентом в инвестиционной компании Delta Private Equity, которая была подразделением инвестиционного фонда The US Russia Investment Fund. Данный фонд был создан правительством США для частных вложений в российскую экономику, существовал в 1995-2008 гг. Затем его функции перешли к Американо-российскому фонду по экономическому и правовому развитию, USRF (в 2015 г. включен в перечень иностранных и международных НКО, деятельность которых была признана в России нежелательной).
В 2006-2009 Гг. Алексей Чекунков являлся одним из основателей инвестиционной компании "Объединенная золотая компания" (ОЗК), входившей в консорциум "Альфа-Групп". Занимал должность управляющего директора "ОЗК".
С 2009 по 2011 г. руководил собственной инвестиционной компанией New Nations Capital (специализация - венчурные инвестиции, инвестиционно-банковские услуги).
В 2011-2013 гг. - директор, член правления и инвестиционного комитета в Российском фонде прямых инвестиций (РФПИ). Отвечал за инвестиции в здравоохранение, энергосбережение, сырьевой сектор, а также за создание Российско-китайского инвестиционного фонда с капиталом в 2 млрд долларов США.
С октября 2014 г. был генеральным директором АО "Фонд развития Дальнего Востока и Арктики", учрежденного в 2011 г. Внешэкономбанком (ныне ВЭБ.РФ) для ускоренного развития дальневосточного и байкальского регионов.
С 10 ноября 2020 г. - министр РФ по развитию Дальнего Востока и Арктики в правительстве Михаила Мишустина. За него проголосовали 327 депутатов, воздержались 39. Голосовавших против не было. Сменил во главе ведомства Александра Козлова.
Член совета директоров ПАО "РусГидро".
Входит в состав Правительственной комиссии по вопросам социально-экономического развития Дальнего Востока (с февраля 2015 г.).
Сумма декларированного дохода за 2020 г. составила 82 млн 95 тыс. руб.
Сумма декларированного дохода за 2021 г. составила 26 млн 929 тыс. руб., супруги - 10 млн 899 тыс. руб.
Владеет английским и французским языками.