Родился 28 марта 1955 г. в Москве. Отец был офицером ВМФ, мать преподавала математику в вузе. В школьные годы Евгений был радиолюбителем, увлекался конструированием.
После восьми классов средней школы поступил в Московский радиомеханический техникум. Затем учился в Московском институте инженеров геодезии, аэрофотосъемки и картографии (ныне - Московский государственный университет геодезии и картографии), который окончил по специальности "электронные и оптико-электронные приборы и системы специального назначения".
Был инженером-радиомонтажником московского Опытно-конструкторского бюро океанологической техники Академии наук СССР (ныне - ОКБ ОТ РАН).
В 1975-1976 гг. был прикомандирован к Институту океанологии им. П. И. Ширшова АН СССР (ныне - ИО РАН, Москва) для работ по обитаемым подводным аппаратам "Пайсис-VII" и "Пайсис-XI" (могли опускаться на глубину 2000 м).
В 1976 г. перешел в Институт океанологии им. П. И. Ширшова. В 1979 г. стал сотрудником лаборатории научной эксплуатации глубоководных обитаемых аппаратов, руководителем которой был исследователь, впоследствии Герой РФ Анатолий Сагалевич.
С середины 1970-х гг. в качестве бортинженера, а затем командира принимал участие в научных экспедициях с использованием аппаратов "Пайсис", в том числе по исследованию озера Байкал и ряда рифовых зон в различных районах Мирового океана.
В 1985-1987 гг. участвовал в создании и испытаниях глубоководных обитаемых аппаратов (ГОА) "Мир-1" и "Мир-2", способных погружаться на глубину 6000 м. После приема их в эксплуатацию был назначен командиром "Мира-2".
С 1987 г. в рамках 37 экспедиций с применением ГОА "Мир" совершал погружения в воды Атлантического, Тихого, Индийского, Северного Ледовитого океанов, а также Байкала.
Был участником девяти походов в Норвежское море к месту гибели атомной подлодки "Комсомолец" (затонула в 1989 г.), а также экспедиции на затонувший в Баренцевом море атомный подводный ракетный крейсер "Курск" (2000).
2 августа 2007 г. в ходе Высокоширотной глубоководной экспедиции выполнил рекордное погружение в географической точке Северного полюса вместе с Анатолием Сагалевичем (пилотировал "Мир-1"). Подводный аппарат Сагалевича первым опустился в воды Северного Ледовитого океана и достиг точки в 4 тыс. 261 м. "Мир-2" Черняева погрузился на глубину 4 тыс. 302 м.
Кроме того, Евгений Черняев принимал участие в коммерческих экспедициях. В 1990-е гг. совместно с командой американского режиссера Джеймса Кэмерона работал на месте гибели трансатлантического лайнера "Титаник". Отснятые во время погружений "Мира-2" материалы были использованы в киноленте "Титаник" (вышла в прокат в 1997 г.), и легли в основу документальных фильмов "Призраки бездны: Титаник" (2003), "Чужие из бездны" (2005) этого режиссера. Также спускался к месту гибели немецкого линкора "Бисмарк" и других затонувших во время Второй мировой войны кораблей.
По состоянию на 2008 г. Евгений Черняев совершил свыше 420 погружений и провел под водой около 3,9 тыс. часов. Является одним из самых опытных глубоководных пилотов.
Герой Российской Федерации (2008). Награжден орденами Трудового Красного Знамени (1989, за участие в создании ГОА "Мир"), Мужества (1994, за проведение специальных подводных операций на подлодке "Комсомолец").
Женат, шестеро детей.