Родился 26 сентября 1935 г. в Москве. Отец - архитектор Александр Чижиков (1907-1957). Мать - Полина Чижикова (урожденная Муллер).
В 1958 г. Виктор Чижиков окончил художественное отделение Московского полиграфического института (ныне Высшая школа печати и медиаиндустрии Московского политехнического университета).
Еще во время учебы в школе, в 1952 г., начал публиковаться как карикатурист в газете "Жилищный работник". Затем его карикатуры выходили в сатирическом журнале "Крокодил" (с 1955 г.), иллюстрации - в детских журналах "Мурзилка" (с 1958 г.) и "Веселые картинки" (с 1959 г.), журнале "Вокруг света" (с 1959 г.). В числе периодических изданий, с которыми Виктор Чижиков сотрудничал как художник-иллюстратор, - газеты "Пионерская правда", "Вечерняя Москва", "Неделя", журналы "Юный натуралист", "Молодая гвардия", "Огонек", "Пионер".
С 1960 г. Виктор Чижиков сотрудничал с книжными издательствами ("Детская литература", "Художественная литература", "Малыш"), иллюстрировал произведения Сергея Михалкова, Бориса Заходера, Самуила Маршака, Агнии Барто, Корнея Чуковского, Эдуарда Успенского, Николая Носова, Фазиля Искандера, Джанни Родари, Ханса Кристиана Андерсена, Льюиса Кэрролла и др. - всего было издано более 70 книг.
Выпустил ряд книг собственного авторства и проиллюстрировал их: "Картинки-загадки для вас, ребятки" (1964), "Про девочку Машу и куклу Наташу" (1965), "Петя и Потап" (1986), "Годные негодники" (1987), "Коты" (1989), "Петя спасает Потапа" (1989), "Наше вам с кисточкой" (1996), "333 кота" (совместно с Андреем Усачевым, 2005), "Мои истории о художниках книги и себе" (2015). Являлся автором многочисленных публикаций о художниках-иллюстраторах в различных периодических изданиях СССР и РФ.
В 1977 г. совместно со Светланой Гвиниашвили выступил в качестве художника-постановщика мультфильма "Бравый инспектор Мамочкин" (режиссер Гарри Бардин).
В том же году Виктор Чижиков выиграл конкурс на создание талисмана XXII летних Олимпийских игр 1980 г. в Москве. Им стал нарисованный художником бурый медвежонок Миша - один из наиболее известных талисманов Олимпиад. Заключительная часть церемонии закрытия Игр запомнилась трогательной сценой прощания, когда с Большой спортивной арены Центрального стадиона им. В. И. Ленина (ныне "Лужники") под песню Александры Пахмутовой и Николая Добронравова "До свидания, Москва" в исполнении Льва Лещенко и Татьяны Анциферовой в столичное небо при помощи надувных шаров была выпущена наполненная гелием восьмиметровая резиновая кукла-аэростат в виде медвежонка Миши.
Персональные выставки художника проходили в Москве (1967, 1977, 1995, 2000, 2005), Дубне (Московская область, 1986), Костроме (1991), Льеже (Бельгия, 1993, 1994), Барвихе (Московская обл., 2006), Переславле-Залесском (Ярославская обл., 2010) и Ульяновске (2015).
В 2018 г. Виктор Чижиков сообщал о своем дальтонизме (видел мир в бежевых тонах с яркими вкраплениями оранжевого и синего, не различал красный и зеленый оттенки). Он надписывал баночки с красками, чтобы не перепутать цвета. По словам Чижикова, никто из художественных редакторов, принимавших у него иллюстрации, ни разу не заподозрил, что работал с дальтоником.
Виктор Чижиков скончался 20 июля 2020 г. в Москве на 85-м году жизни. Похоронен на Востряковском кладбище.
Был президентом Совета по детской книге России, почетным членом Российской академии художеств.
Народный художник РФ (2016).
Был награжден орденом "Знак Почета" (1980).
Являлся обладателем многочисленных дипломов и премий советских, российских и международных выставок книг и карикатур.
Был женат на Зинаиде Сергеевне Чижиковой (художественный редактор, иллюстратор-оформитель). Сын, Александр (1965-2008), также был художником-иллюстратором.