Родилась 9 мая 1972 г. в г. Иваново в семье врачей.
Окончила Ивановскую государственную медицинскую академию по специальности "врач-психиатр", Российский университет дружбы народов (Москва, ныне Российский университет дружбы народов им. П. Лумумбы) по специальности "организация здравоохранения и общественное здоровье" и Государственный университет управления (2005, Москва) по специальности "менеджмент организации". В 2021 г. получила степень магистра делового администрирования в Российской академии народного хозяйства и государственной службы при президенте РФ.
Кандидат экономических наук. В 2022 г. в московском ВНИИ "Центр" защитила диссертацию на тему "Управление развитием производственно-технологического потенциала предприятий угольной промышленности".
Работала врачом-психиатром в психиатрической больнице "Богородское" в Ивановской области.
В 2001-2002 гг. Анна Цивилева была сотрудником объединения "Медтехснаб" Федерального агентства по здравоохранению и социальному развитию.
В 2002-2014 гг. - директор по маркетингу компании Digimed, занимавшейся поставками медоборудования.
В 2016-2018 гг. - генеральный директор, председатель совета директоров швейцарской компании Kolmar Sales and Logistics.
С марта 2018 г. по 2023 г. - председатель совета директоров угольной компании "Колмар груп".
В 2018 г. возглавила Совет по вопросам попечительства в социальной сфере Кемеровской области.
С марта 2019 г. по февраль 2021 г. была членом Совета при правительстве РФ по вопросам попечительства в социальной сфере.
3 апреля 2023 г. президент РФ Владимир Путин подписал указ о создании Государственного фонда поддержки участников специальной военной операции "Защитники Отечества". Тем же документом председателем фонда была назначена Анна Цивилева.
С 17 июня 2024 г. - заместитель министра, с 17 августа 2024 г. - статс-секретарь - заместитель министра обороны РФ (глава оборонного ведомства - Андрей Белоусов). Отвечает за вопросы организации социального и жилищного обеспечения военнослужащих, а также взаимодействие с государственным фондом "Защитники Отечества".
Член совета Евразийского женского форума при Совете Федерации РФ.
Супруг - Сергей Цивилев, министр энергетики РФ, бывший губернатор Кемеровской области (2018-2024).