Родился 16 октября 1955 г. в Харькове (Украинская ССР, ныне Украина).
В детстве освоил игру на пианино в музыкальной студии при общеобразовательной школе. В 1973 г. окончил Харьковскую среднюю специальную музыкальную школу-интернат. В 1978 г. получил диплом Ленинградской (ныне Санкт-Петербургской) государственной консерватории им. Н. А. Римского-Корсакова. Выпускник класса композиции профессора Бориса Арапова и класса инструментовки профессора Бориса Тищенко.
Леонид Десятников - автор четырех опер: "Бедная Лиза" (1976, вторая редакция - 1980), "Никто не хочет петь, или Браво-брависсимо, пионер Анисимов" (1982), "Витамин роста" (1985), "Дети Розенталя" (2004). На музыку композитора хореограф Алексей Ратманский поставил балеты "Утраченные иллюзии", "Русские сезоны", "Опера", "Вываливающиеся старухи" (на музыку вокального цикла "Любовь и жизнь поэта" на стихи Даниила Хармса и Николая Олейникова).
Среди других известных произведений композитора: кантаты "Дар" (на стихи Гавриила Державина) и "Пинежское сказание о дуэли и смерти Пушкина", "Эскизы к закату" для симфонического оркестра, "Свинцовое эхо" для голоса и инструментов на стихи Джерарда Мэнли Хопкинса, симфония для хора, солистов и оркестра "Зима священная 1949 года".
С 1996 г. Леонид Десятников сотрудничает с латвийским скрипачом Гидоном Кремером как композитор ("Как старый шарманщик", камерная версия "Эскизов к закату", "Русские сезоны") и аранжировщик произведений аргентинского композитора Астора Пьяццоллы.
В 2000-х гг. работал с Российским государственным академическим театром драмы им. А. С. Пушкина (Александринский; ныне Национальный драматический театр России, Александринский театр), создал музыкальное оформление к постановкам режиссера Валерия Фокина "Ревизор" и "Женитьба" по комедиям Николая Гоголя, "Живой труп" по пьесе Льва Толстого.
Автор музыки к полутора десяткам фильмов. В их числе: "Кавказский пленник" (1996, режиссер Сергей Бодров), "Дневник его жены" (2000, Алексей Учитель), "Москва" (2000, Александр Зельдович), "Олигарх" (2002, Павел Лунгин), "Мишень" (2011, Александр Зельдович), "Ван Гоги" (2018, Сергей Ливнев).
В 2009-2010 гг. Леонид Десятников занимал пост музыкального руководителя Государственного академического Большого театра России.
Член Союза композиторов Санкт-Петербурга, Союза кинематографистов РФ, Российской академии кинематографических искусств.
Заслуженный деятель искусств России (2003).
Лауреат Государственной премии РФ в области литературы и искусства 2003 г.
Обладатель кинопремии "Ника" в номинации "Лучшая музыка к фильму" (2012, "Мишень"; 2019, "Ван Гоги" - вместе с Алексеем Сергуниным), театральной премии "Золотая маска" в категории "Работа композитора в музыкальном театре" (2012, "Утраченные иллюзии").