Родился 19 января 1935 г. в Ленинграде (ныне Санкт-Петербург).
В 1953 г. окончил хоровое училище при Ленинградской государственной академической капелле (ныне Хоровое училище им. М. И. Глинки), в 1958 г. - Ленинградскую (ныне Санкт-Петербургскую) государственную консерваторию им. Н. А. Римского-Корсакова по классу хорового дирижирования педагога Елизаветы Кудрявцевой и по классу теории музыки заслуженного деятеля искусств РСФСР Юрия Тюлина. В 1961 г. завершил обучение в аспирантуре Ленинградской консерватории по классу оперно-симфонического дирижирования профессора Николая Рабиновича.
В 1968-1969 гг. стажировался у дирижеров Ханса Сваровского и Карла Эстеррайхера в Венской академии музыки и исполнительского искусства (Австрия), в 1969-1970 гг. - у народного артиста СССР Евгения Мравинского в симфоническом оркестре Ленинградской филармонии (ныне Академический симфонический оркестр Санкт-Петербургской академической филармонии им. Д. Д. Шостаковича).
Профессиональная деятельность
С 1960 г. Александр Дмитриев работал в Симфоническом оркестре Карельского радио и телевидения (ныне Симфонический оркестр Карельской государственной филармонии, Петрозаводск), в 1962-1971 гг. являлся его главным дирижером.
С 1971 по 1977 г. Александр Дмитриев был главным дирижером Ленинградского государственного академического Малого театра оперы и балета (ныне Санкт-Петербургский государственный академический театр оперы и балета им. М. П. Мусоргского - Михайловский театр). Дирижировал операми "Евгений Онегин" Петра Чайковского, "Майская ночь" Николая Римского-Корсакова, "Не только любовь" Родиона Щедрина, "Тоска" и "Чио-чио-сан" Джакомо Пуччини, "Дон Жуан" Вольфганга Амадея Моцарта, балетами "Весна священная" и "Петрушка" Игоря Стравинского.
С 1977 по 2018 г. - главный дирижер, художественный руководитель Академического симфонического оркестра Санкт-Петербургской академической филармонии им. Д. Д. Шостаковича. В 2018 г. ему было присвоено почетное звание пожизненного дирижера-лауреата этого оркестра.
В 1990-1998 гг. также возглавлял симфонический оркестр гор. Ставангер (Норвегия).
В качестве дирижера и музыкального руководителя Александр Дмитриев участвовал в работе над фильмами-операми "Комедианты" по опере Руджеро Леонкавалло "Паяцы" (1984) и "Риголетто" по одноименной опере Джузеппе Верди (1987). Режиссером обеих постановок был заслуженный деятель искусств РСФСР Виктор Окунцов.
Среди записей, осуществленных музыкантами под руководством Александра Дмитриева: симфонии Александра Скрябина, Петра Чайковского, Иоганна Себастьяна Баха, Людвига ван Бетховена, Франца Шуберта, Иоганнеса Брамса и др., фортепианные концерты Сергея Рахманинова, Альфреда Шнитке, Тихона Хренникова и Андрея Эшпая, скрипичные концерты Феликса Мендельсона, Бенджамина Бриттена и др.
Преподавательская деятельность
В 1972-2019 гг. Александр Дмитриев вел класс дирижирования в Санкт-Петербургской государственной консерватории им. Н. А. Римского-Корсакова. Профессор (1984). Среди его учеников - заслуженные артисты РФ Андрей Аниханов, Владимир Альтшулер и Аркадий Штейнлухт.
Звания, награды
Заслуженный деятель искусств РСФСР (1970). Народный артист СССР (1990).
Александр Дмитриев награжден орденами Почета (2005) и "За заслуги перед Отечеством" IV степени (2010).
Лауреат Государственной премии РФ в области литературы и искусства 2000 г.
Лауреат II Всесоюзного конкурса дирижеров (Москва, 1966).