Родился 30 июля 1951 г. в Алма-Ате (Казахская ССР, ныне Республика Казахстан). Его отец, Муса Букенбаевич Днишев, был журналистом, в первой половине 1960-х гг. занимал должность заместителя министра культуры Казахской ССР.
В 1970 г. Алибек Днишев окончил Алма-Атинское музыкальное училище (ныне колледж) им. П. И. Чайковского. В 1976 г. завершил обучение в Алма-Атинской консерватории (ныне Казахская национальная консерватория им. Курмангазы) по вокальному классу педагога Надии Шариповой. Певческий голос - тенор.
В 1976-1978 гг. являлся солистом Казахской государственной филармонии им. Джамбула (Алма-Ата).
С 1978 г. по 2010-е гг. - солист Казахского государственного академического театра оперы и балета им. Абая. Среди исполненных им партий: Ленский в "Евгении Онегине" Петра Чайковского, Владимир в "Князе Игоре" Александра Бородина, Айдар в "Абае" Ахмета Жубанова и Латифа Хамиди, Тулеген в "Кыз-Жибек" Евгения Брусиловского, Санат в "Песни о целине" Еркегали Рахмадиева, Косаев в "Двадцати восьми" Газизы Жубановой.
Репертуар певца также включал камерные циклы, романсы, казахские народные песни и песни советских композиторов, романсы.
Был депутатом Верховного совета Казахской ССР XI созыва (1985-1989).
В 1997 г. основал и возглавил Театр и академию вокала Алибека Днишева (Алма-Ата).
Во второй половине 2000-х гг. был председателем правления АО "Раннила-Казахстан".
В 2005 г. Алибек Днишев являлся членом республиканского общественного штаба кандидата на пост президента Казахстана Нурсултана Назарбаева.
В 2011 г. входил в список партии "Нур Отан" на выборах в Мажилис парламента Республики Казахстан V созыва.
Народный артист СССР (1986).
Награжден казахстанскими орденами "Парасат" (1996) и "Отан" (2011).
Удостоен премии Ленинского комсомола (1979), Государственной премии мира и прогресса первого президента Республики Казахстан (2001), Государственной премии Республики Казахстан в области литературы и искусства (2012).
Лауреат Всесоюзного конкурса вокалистов им. М. И. Глинки (Тбилиси, Грузинская ССР, 1975), Международного конкурса им. Р. Шумана (Цвиккау, ГДР, 1977), Международного конкурса вокалистов им. Э. Вилла-Лобоса (Рио-де-Жанейро, Бразилия, 1979).
Почетный гражданин Алма-Аты (2014).
Женат. Супруга - Марина Искандеровна Днишева (род. 1954). Дочери - Дания (род. 1973, фотограф) и Тамила (род. 1984, декоратор).