Родился 15 января 1945 г. в Москве. Его отец - известный композитор, народный артист РСФСР Исаак Осипович Дунаевский (1900-1955). Мать - балерина Зоя Ивановна Пашкова (1922-1991). Брак родителей не был зарегистрирован, Максим Дунаевский взял фамилию отца только в подростковом возрасте.
В 1965 г. Максим Дунаевский окончил музыкальное училище при Московской государственной консерватории им. П. И. Чайковского, в 1970 г. - теоретико-композиторское отделение Московской консерватории по классу композиции. В разные годы его педагогами были известные советские композиторы Дмитрий Кабалевский, Тихон Хренников, Альфред Шнитке и Андрей Эшпай.
В 1964-1969 гг. Максим Дунаевский руководил эстрадной студией Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова "Наш дом".
С 1969 г. по 1974 г. дирижировал оркестром Государственного академического театра им. Евг. Вахтангова.
В 1972 г. написал музыку для спектакля Марка Розовского "Три мушкетера" по роману Александра Дюма. Он был поставлен в Московском театре юного зрителя, премьера состоялась в 1974 г.
В 1972 г. Максим Дунаевский начал писать музыку для кино. Его первой работой была картина "Синие зайцы, или Музыкальное путешествие" режиссера Виталия Аксенова (вышла на экраны в 1974 г.). Затем он создал музыку к комедии Ролана Быкова "Автомобиль, скрипка и собака Клякса" (1974).
В 1974-1975 гг. был главным дирижером и музыкальным руководителем театра "Московский Мюзик-холл". В 1977 г. совместно с музыкантом Марком Айзиковичем организовал эстрадный ансамбль "Фестиваль" (просуществовал до 1990 г.).
Известность Максиму Дунаевскому принес музыкальный телефильм "Д'Артаньян и три мушкетера" режиссера Георгия Юнгвальд-Хилькевича (1979). Некоторые музыкальные композиции из фильма стали хитами: "Пора, пора, порадуемся", "На войне, как на войне" и др. Впоследствии Максим Дунаевский написал музыку к продолжениям этой ленты - "Мушкетеры двадцать лет спустя" (1992), "Тайна королевы Анны, или Мушкетеры тридцать лет спустя" (1993) и "Возвращение мушкетеров, или Сокровища кардинала Мазарини" (2009).
Также его музыка звучит в фильмах: "Ах, водевиль, водевиль..." (1979, Георгий Юнгвальд-Хилькевич), "Карнавал" (1981, Татьяна Лиознова), "Зеленый фургон" (1983, Александр Павловский), "Мэри Поппинс, до свидания!" (1983, Леонид Квинихидзе) и др.
В 1981-1985 гг. Максим Дунаевский был художественным руководителем и главным дирижером Государственного эстрадного оркестра РСФСР. В 1987 г. являлся музыкальным руководителем Театра-студии музыкальной драмы.
С 1992 г. по 1999 г. жил и работал в США. После возвращения в Россию композитор написал музыку к сериалам "Граница. Таежный роман" (2000, режиссер Александр Митта), "Амапола" (2004, Каринэ Фолиянц), "Утесов. Песня длиною в жизнь" (2006, Георгий и Валентина Николаенко), фильмам "Формула счастья" (2000, Неля Гульчук), "Атлантида" (2002, Александр Павловский), "Полный вперед!" (2014, Алла Сурикова) и др.
С 2015 г. по н. в. - художественный руководитель Московской областной филармонии.
Песни Максима Дунаевского на стихи Леонида Дербенева, Юрия Ряшенцева, Ильи Резника, Роберта Рождественского входят в репертуар Михаила Боярского, Любови Успенской, Татьяны Булановой и других исполнителей.
Максим Дунаевский - автор ряда симфонических произведений, вокальных циклов на стихи Федерико Гарсиа Лорки и японских поэтов, рок-мюзиклов "Ранвей" и "Саломея - царевна Иудейская".
Был ведущим программы об оперетте "С легким жанром!" на телеканале "Культура" (2005), входил в состав жюри ряда музыкальных конкурсов.
Член Союза кинематографистов РФ, Российской академии кинематографических искусств, попечительского совета некоммерческой организации "Московский английский клуб".
Заслуженный деятель искусств РФ (1996). Народный артист России (2006).
Награжден орденом Почета (2019). Отмечен благодарностью президента РФ (1996).
Был женат несколько раз. Трое детей: Дмитрий (род. 1982), Алина (род. 1983) и Полина (род. 2002).