Родился 23 ноября 1967 г. .
В 1989 г. окончил Цхинвальский факультет Грузинского политехнического института (ГПИ) по специальности "технология металлорежущих станков и инструментов".
В 1993-2011 гг. занимал должность генерального директора строительной компании ООО "Приличный".
С 2011 г. был генеральным директором строительной компании "Мегаполис".
Возглавлял строительство объектов жилищно-гражданской, коммерческой и социальной сферы, а также строительство значимых объектов в рамках российской инвестиционной программы содействия социально-экономическому развитию Южной Осетии.
8 июня 2022 г. президент Южной Осетии Алан Гаглоев внес в парламент предложение о назначении Константина Джуссоева председателем правительства республики.
17 июня 2022 г. парламент Южной Осетии одобрил кандидатуру Константина Джуссоева, представленную президентом Аланом Гаглоевым на должность председателя правительства республики (за проголосовали все 33 присутствующие на заседании депутата). 20 июня 2022 г. глава государства подписал указ о его назначении.
Константин Джуссоев женат, имеет дочь.