Родился 4 декабря 1974 г. в семье учителей средней общеобразовательной школы №1 с. Центарой Чечено-Ингушской АССР (ныне - с. Ахмат-Юрт Курчалоевского района Чеченской Республики). Его мать - Вера Афанасьевна Дерябина, была школьной учительницей главы Чечни Рамзана Кадырова, в 2000-2010-х гг. - депутатом Парламента Чеченской Республики II и III созывов. Отец Эдельгериева работал преподавателем физкультуры.
В 2001 г. Руслан Эдельгериев окончил Краснодарский юридический институт МВД России (ныне университет) по специальности "юриспруденция", в 2010 г. – Чеченский государственный университет по специальности "технология производства и переработки сельскохозяйственной продукции", в 2014 г. – Кубанский государственный аграрный университет по специальности "садоводство".
В 1992-1994 гг. проходил срочную службу в Вооруженных силах РФ.
С апреля 1994 г. служил в органах внутренних дел России, был участковым в отделе внутренних дел (ОВД) г. Славянска-на-Кубани (Краснодарский край).
С февраля 2004 г. по май 2007 г. - сотрудник районного ОВД Курчалоевского района Чеченской Республики.
В период с мая 2007 г. по декабрь 2007 г. занимал пост начальника отдела "Р" отряда милиции специального назначения (ОМСН) "Терек" (Грозный), занимавшегося в том числе охраной республиканских правительственных учреждений.
С 21 декабря 2007 г. по 11 января 2008 г. работал первым заместителем министра сельского хозяйства Чечни Хасана Таймасханова. С 11 по 22 января 2008 г. исполнял обязанности руководителя республиканского Минсельхоза.
С 3 марта 2008 г. - член политической партии "Единая Россия", в 2012-2019 гг. - секретарь чеченского регионального отделения партии.
С 22 ноября 2008 г. по 24 мая 2012 г. – заместитель председателя правительства Чеченской Республики – министр сельского хозяйства Чеченской Республики.
С 24 мая 2012 г. по 22 июня 2018 г. - председатель правительства Чечни. Сменил на этом посту Одеса Байсултанова.
8 сентября 2013 г. участвовал в выборах депутатов Парламента Чеченской Республики III созыва по списку партии "Единая Россия" (№2 общей части списка). После выборов от депутатского мандата отказался.
22 июня 2018 г. перешел на работу в Администрацию президента РФ, где до 14 мая 2024 г. занимал должность советника главы государства Владимира Путина.
С 18 июля 2018 г. - специальный представитель президента РФ по вопросам климата (переназначен 15 мая 2024 г.). Сменил на этом посту Александра Бедрицкого.
С 14 мая 2024 г. - помощник президента РФ Владимира Путина.
Действительный государственный советник РФ III класса (2018).
Награжден орденом им. Ахмата Кадырова (Чеченская Республика).