Родился 28 февраля 1945 г. .
В 1967 г. окончил физический факультет Ленинградского государственного университета (ныне Санкт-Петербургский государственный университет).
Доктор физико-математических наук. В 1974 г. в Ленинградском физико-техническом институте им. А. Ф. Иоффе Академии наук СССР (ныне Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе Российской академии наук) защитил кандидатскую диссертацию по теме "Оптическая ориентация спинов носителей в полупроводниках". В 1989 г. защитил докторскую диссертацию (тема - "Квантовые размерные явления в полупроводниковых микрокристаллах").
С 1977 г. работал в Государственном оптическом институте им. С. И. Вавилова (ныне АО "Научно-производственное объединение "Государственный оптический институт им. С. И. Вавилова", Санкт-Петербург).
В 1999 г. стал ведущим научным сотрудником компании Nanocrystals Technology (Нью-Йорк, США).
Был приглашенным профессором в Политехнической школе в Париже и Университете Клода Бернара в Лионе (Франция), в Институте Макса Планка в Мюнхене (Германия) и Осакском университете (Япония).
Алексей Екимов - специалист в области физики твердого тела и оптики, автор более 100 научных работ и нескольких изобретений. Разработал метод получения кристаллов нанометровых размеров в стеклообразных матрицах, открыл нанокристаллические полупроводниковые квантовые точки (1981) и выполнил пионерские исследования их электронных и оптических свойств.
Лауреат Государственной премии СССР (1976, за цикл работ "Обнаружение и исследование новых явлений, связанных с оптической ориентацией спинов электронов и ядер в полупроводниках").
В 2006 г. Оптическое общество США присудило Алексею Екимову (совместно с соотечественником Александром Эфросом и американским физиком Луисом Брюсом) премию Р. В. Вуда за "открытие нанокристаллических квантовых точек и пионерские исследования их электронных и оптических свойств".
В 2023 г. Екимов стал обладателем Нобелевской премии по химии (вместе с Луиcом Брюсом и американским ученым Мунги Бавенди "за открытие и синтез квантовых точек").