Родился 29 августа 1956 г. в ст. Краснодубровской Завьяловского района Алтайского края.
В 1971 г. окончил Угличское часовое училище (Ярославская область), в 1982 г. - Ленинградский государственный университет имени А. А. Жданова (ныне Санкт-Петербургский государственный университет) по специальности "журналистика".
В 1972 г. стал мастером часового завода "Чайка" (г. Углич).
В 1974-1976 гг. проходил службу в составе Группы советских войск в Германии (ГСВГ). Печатался в газете ГСВГ "Советский патриот".
В 1982-1990 гг. работал журналистом, заведующим отделом районной газеты "Новое время" (Борисоглебский район Ярославской области). Печатался в газете "Красная звезда", журналах "Природа и человек", "Юный натуралист" и других изданиях
Избирался в Ярославский областной совет народных депутатов.
В 1990–1993 гг. – народный депутат РСФСР, член Верховного совета РСФСР, член комитета ВС по вопросам экологии и рационального использования природных ресурсов. Во время событий сентября – октября 1993 г. выступал на стороне защитников Верховного совета.
С 1993 г. является депутатом Государственной думы Федерального собрания РФ всех восьми созывов.
В 1993-1995 гг. - депутат Государственной думы I созыва. Был избран 12 декабря 1993 г. по Рыбинскому одномандатному избирательному округу №190 (Ярославская область), набрав 21,34% голосов. Баллотировался от группы избирателей. В Госдуме входил в депутатскую группу "Российский путь". Был председателем подкомитета по экологическому образованию, информации и связи с общественностью думского комитета по экологии.
В 1995-1999 гг. - депутат Государственной думы II созыва. Был избран 17 декабря 1995 г. по Рыбинскому одномандатному избирательному округу №190 от блока "Власть - народу!". Получил 32,29% голосов (второе место в округе занял кандидат от группы избирателей Галина Степенко, 14,97%). В Госдуме Анатолий Грешневиков был членом депутатской группы "Народовластие", секретарем комитета по экологии и председателем подкомитета по бюджетной экологической политике.
В 1999-2003 гг. - депутат Государственной думы III созыва. Был избран 19 декабря 1999 г. вновь по Рыбинскому избирательному округу №190, баллотировался от Российского общенародного союза Сергея Бабурина. На выборах набрал 34,38% голосов (его ближайший соперник - Татьяна Москалькова от "Яблока" - 19,47%). Вошел в состав группы "Регионы России" (Союз независимых депутатов), был заместителем председателя думского комитета по экологии.
В 2003-2007 гг. - депутат Государственной думы IV созыва, избранный 7 декабря 2003 г. от блока "Родина (народно-патриотический союз)" по Рыбинскому избирательному округу №190 (64,61% голосов; второе место - самовыдвиженец Дмитрий Евсеев, 5,44%). Член фракции "Справедливая Россия - Родина", заместитель председателя думского комитета по экологии.
В 2007-2011 гг. - депутат Госдумы V созыва. Был избран 2 декабря 2007 г. по федеральному округу в составе списка кандидатов от партии "Справедливая Россия: Родина/Пенсионеры/Жизнь". На выборах возглавлял региональную группу №81 (Ярославская область). В Госдуме входил в партийную фракцию, комитет по аграрным вопросам.
В 2011-2016 гг. - депутат Государственной думы VI созыва, избранный 4 декабря 2011 г. по списку партии "Справедливая Россия" (первый номер в региональной группе №65 по Ярославской области). Член партийной фракции, заместитель председателя комитета ГД по природным ресурсам, природопользованию и экологии.
В 2016-2021 гг. - депутат Госдумы VII созыва, был избран 18 сентября 2016 г. от "Справедливой России" по Ростовскому одномандатному избирательному округу №195 (Ярославская область). На выборах набрал 41,88% голосов избирателей, его ближайший соперник, кандидат от партии "Родина" Владимир Денисов, получил 11,99% голосов. Анатолий Грешневиков вошел в состав партийной фракции. Был заместителем председателя комитета Госдумы по экологии и охране окружающей среды.
С 2021 г. - депутат Государственной думы VIII созыва от партии "Справедливая Россия – Патриоты – За правду". Был избран 19 сентября 2021 г. вновь по Ростовскому одномандатному избирательному округу №195 (Ярославская область). Получил в округе 34,27% голосов (второе место - Лариса Ушакова от "Единой России", 29,31%). С 12 октября 2021 г. - заместитель председателя комитета Госдумы по экологии, природным ресурсам и охране окружающей среды. Один из трех депутатов Госдумы, работавших во всех ее созывах с 1993 г. (вместе с Геннадием Зюгановым и Николаем Харитоновым от КПРФ).
Награжден орденом Дружбы (2019), медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2006), орденом Святого благоверного князя Даниила Московского III степени (1999; Русская православная церковь). Имеет благодарность правительства РФ (2019).
Член Союза писателей России. Автор 16 книг, в том числе "Копье Пересвета", "Расстрелянный парламент", "Зеленый посох", "Казнь русского леса", "Информационная война", учебного пособия "Экологический букварь". Лауреат премии Союза журналистов СССР. Лауреат премий журнала "Новый мир", газеты "Сельская жизнь" и других.