Родился 22 мая 1986 г. в Ярославле.
В 2008 г. окончил юридический факультет Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова, в 2012 г. - Российскую академию народного хозяйства и государственной службы при президенте РФ.
Кандидат юридических наук. Диссертацию защитил в 2011 г. в Саратовской государственной юридической академии (тема: "Дифференциация ответственности за экономические преступления в России, ФРГ и США: сравнительно-правовое исследование").
С 2007 г. занимался общественной и политической деятельностью, вступил в партию "Единая Россия".
В начале 2008 г. стал помощником депутата Ярославской областной думы Александра Князькова, который в 2009-2012 гг. являлся директором Ярославского нефтеперерабатывающего завода им. Д. И. Менделеева, а в 2012 г. был назначен председателем правительства Ярославской области.
12 октября 2008 г. Александр Грибов был избран депутатом муниципалитета (городской думы) Ярославля V созыва по одномандатному округу №25 в Красноперекопском районе, набрал 84,5% голосов избирателей.
В мае 2012 г. был назначен помощником губернатора Ярославской обл. Сергея Ястребова по вопросам взаимодействия с федеральными органами исполнительной власти, органами местного самоуправления и институтами гражданского общества. В октябре того же года получил пост вице-губернатора области по вопросам внутренней политики.
С февраля 2015 г. по сентябрь 2016 г. - председатель общественной палаты Ярославской области.
В 2016-2020 гг. - депутат Государственной думы РФ VII созыва. Был избран 18 сентября 2016 г. от партии "Единая Россия" по одномандатному округу №194 (Ярославская обл.). На выборах набрал 38,5% голосов, его ближайший соперник Александр Воробьев от КПРФ - 17,7%. В Думе занимал пост заместителя председателя комитета по государственному строительству и законодательству. Полномочия прекращены 23 января 2020 г. в связи с переходом в Аппарат правительства РФ.
С 23 января 2020 г. - заместитель руководителя Аппарата правительства РФ (глава правительства - Михаил Мишустин).
Заместитель секретаря генерального совета партии "Единая Россия".
Общая сумма декларированного дохода за 2015 г. составила 2 млн 43 тыс. руб.
Общая сумма декларированного дохода за 2016 г. составила 2 млн 437 тыс. руб., супруги - 1 млн 17 тыс. руб.
Общая сумма декларированного дохода за 2018 г. составила 4 млн 809 тыс. руб., супруги - 750 тыс. руб.