Родился 2 апреля 1937 г. в Баку (Азербайджанская ССР, ныне - Азербайджанская Республика) в семье художника. Отец погиб на фронте в ходе Великой Отечественной войны.
В первой половине 1950-х гг. Юрий Григорьев окончил в Баку техникум, освоив специальность фотографа.
В 1953 г. начал в родном городе артистическую деятельность в качестве конферансье и звукоимитатора.
К профессиональной работе приступил в середине 1950-х гг. в филармонии г. Грозного (ныне – столица Чеченской Республики), был конферансье в коллективе Махмуда Эсамбаева.
В 1957-1958 гг. - артист Сухумской филармонии.
В 1958-1961 гг. проходил службу в рядах Советской армии. Был кларнетистом военного ансамбля.
В 1961-1970 гг. работал конферансье в филармониях Баку и Махачкалы, в 1970-1976 гг. - в оркестре под управлением Олега Лундстрема. Выступал как звукоимитатор, исполнял эстрадные монологи, куплеты.
С 1976 г. - артист Москонцерта, выступал с разговорно-звукоимитационными номерами. Среди наиболее известных - "Бедная Анна", "Радиоприемник", "Звуковая газета".
Популярность получили сольные программы Юрия Григорьева "Профессия - звукоимитатор" (1978), "От веселого до смешного" (1985), "И швец, и жнец, и на дуде игрец" (1992). Артист посетил с гастролями более 70 государств, вел программы на 20 иностранных языках.
С 1996 г. был режиссером и ведущим эстрадной программы "Ах, анекдот, анекдот", участие в которой принимали многие популярные юмористы.
Сотрудничал с радиостанцией "Юмор FM", где выходила его программа "В гостях у смеха".
В 2002 г. выпустил книгу "С анекдотом по жизни", в 2008 г. (в соавторстве с Аркадием Хайтом и Александром Левенбуком) - "Еврейские анекдоты навсегда".
Заслуженный артист РСФСР (1989).
Был награжден медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2004).
Юрий Григорьев являлся лауреатом ряда республиканских артистических фестивалей.
Был женат, имел сына и дочь.