Родился 22 декабря 1962 г. в станице Выселки Краснодарского края.
В 1985 г. окончил Кубанский сельскохозяйственный институт (ныне Кубанский государственный аграрный университет) по специальности "ветеринарный врач", в 2011 г. – Саратовский государственный аграрный университет им. Н.И. Вавилова.
Кандидат ветеринарных наук. В 2010 г. в Саратовском государственном аграрном университете им. Н.И. Вавилова защитил диссертацию на тему "Этио-патогенетическая терапия эндометритов у коров".
В 1985–1989 гг. работал в должности старшего ветврача в цехе животноводства межхозяйственного комплекса по доращиванию и откорму крупного рогатого скота "Выселковский".
В 1989 г. стал членом Выселковского райкома ВЛКСМ, которым руководил Александр Ткачев.
С 1989 г. - начальник отдела сбыта Выселковского межхозяйственного комбикормового завода (с 1993 г. - фирма "Агрокомплекс"). Евгений Громыко работал в фирме вплоть до 2001 г., занимал должности заместителя директора по коммерческим вопросам, начальника отдела экологической безопасности, заместителя директора по вопросам внешней экологической политики и связям.
С 2001 г. генеральный директор Департамента регионального продовольствия Краснодарского края. В том же году стал советником главы администрации Краснодарского края Александра Ткачева.
В 2002-2004 гг. занимал должность полномочного представителя администрации Краснодарского края по торгово-экономическому сотрудничеству.
С 2004 г. по 2005 г. был первым заместителем генерального директора государственного унитарного предприятия "Кубанский продовольственный фонд".
С 2005 г. по 2009 г. занимал должность заместителя генерального директора по стратегическим вопросам предприятия "Управляющая компания Кубаньсвинпром".
В 2009–2012 – заместитель главы администрации (губернатора) Краснодарского края Александра Ткачева. Курировал вопросы агропромышленного комплекса.
В октябре 2012 г. избран депутатом законодательного собрания Краснодарского края пятого созыва от Атаманского одномандатного избирательного округа №19. В 2012-2014 гг.– депутат Законодательного собрания Краснодарского края пятого созыва, заместитель председателя заксобрания – председатель Комитета по вопросам использования природных ресурсов и экологической безопасности на непостоянной основе. Член фракции Всероссийской политической партии "Единая Россия".
С 2012 по н.в. – президент Агропромышленного союза Кубани.
С 22 января 2014 г. по 30 сентября 2015 г. – член Совета Федерации Федерального собрания РФ от Законодательного собрания Краснодарского края, член Комитета по аграрно-продовольственной политике и природопользованию. Полномочия досрочно прекращены в связи с переходом на госслужбу.
С 23 июля 2015 г. первый заместитель, с 9 апреля 2016 г. по 8 июня 2018 г. - заместитель министра сельского хозяйства РФ. До мая 2018 г. это ведомство возглавлял Александр Ткачев, 18 мая 2018 г. новым министром был назначен Дмитрий Патрушев.
Общая сумма декларированного годового дохода за 2014 г. составила 4 млн 532 тыс. 462 руб., у супруги - 10 млн 313 тыс. 13 руб.
Почетный работник агропромышленного комплекса РФ.