Родился 21 мая 1996 г. в Москве.
Выпускник кафедры теории и методики тенниса Российского государственного университета физической культуры, спорта, молодежи и туризма (Москва).
Карен Хачанов начал заниматься теннисом в три года в секции столичного спортивного клуба "Тригона". Его первым тренером была Анна Журавлева. Впоследствии занимался в спортивной школе олимпийского резерва "Юность Москвы". Его наставником была Елена Никищихина, затем - Игорь Биценко.
В 2010 г. в Москве вместе с Богданом Бобровым стал победителем юниорского турнира Junior Kremlin Cup в парном разряде.
На протяжении 2010-х гг. Карен Хачанов сотрудничал с тренерами Ведраном Мартичем (Хорватия) и Гало Бланко (Испания).
В 2012 г. в Алма-Ате (Казахстан) выиграл турнир Международной федерации тенниса (International Tennis Federation, ITF) для игроков не старше 18 лет в одиночном разряде. В финале победил россиянина Артура Шахнубаряна.
В 2013 г. в Клостерсе (Швейцария) выиграл юниорский чемпионат Европы по теннису. В решающем матче нанес поражение французу Кёнтену Алису.
В 2013 г. Карен Хачанов получил профессиональный статус.
В 2014 г. в Гаосюне (Тайвань, КНР) стал победителем турнира серии "Фьючерс", проводимой ITF. В финале нанес поражение Шрираму Баладжи (Индия). В дальнейшем на протяжении карьеры выиграл еще четыре турнира этой серии в одиночном разряде.
В 2014 г. в Нанкине (КНР) на II летних юношеских Олимпийских играх завоевал серебро теннисного турнира в парном разряде (вместе с Андреем Рублевым).
В 2015 г. в Стамбуле (Турция) стал победителем турнира серии "Челленджер" Ассоциации теннисистов-профессионалов (Association of Tennis Professionals, ATP). В финале взял верх над украинцем Сергеем Стаховским. В 2016 г. первенствовал на турнире этой серии в Самарканде (Узбекистан), в решающей встрече нанеся поражение испанцу Рубену Рамиресу Идальго.
На протяжении карьеры Карен Хачанов выиграл четыре турнира мировой серии АTP в одиночном разряде (2016 - Чэнду, КНР; 2018 - Марсель, Франция; Москва; Париж, Франция).
1 августа 2021 г. стал серебряным медалистом теннисного турнира в одиночном разряде в рамках XXXII летних Олимпийских игр в Токио (Япония). В финале уступил Александру Звереву (Германия).
В декабре 2021 г. в Мадриде (Испания) в составе сборной России стал победителем Кубка Дэвиса по теннису.
В настоящее время тренером спортсмена является испанский специалист Хосе Клавет.
В текущем одиночном рейтинге ATP Карен Хачанов занимает 25-е место (наиболее высокой позицией было восьмое место в июле - августе и октябре 2019 г.). На протяжении карьеры он заработал 9 млн 847 тыс. долларов призовых.
Заслуженный мастер спорта РФ (2021).
Награжден медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" I степени (2021).
Обладатель теннисной премии "Русский кубок" в номинациях "Юниор года" (2013) и "Теннисист года в России" (2018).
Женат. Супруга - Вероника Шкляева, выпускница Московского государственного института международных отношений. Сын - Давид (род. 2019).