Родился 27 января 1964 г. в г. Татарске Новосибирской области.
В 1985 г. окончил Новосибирское высшее военно-политическое общевойсковое училище им. 60-летия Великого Октября (ныне - Новосибирское высшее военное командное училище), в 1988 г. - Высшие курсы военной контрразведки Комитета государственной безопасности (КГБ) СССР в Новосибирске, в 1995 г. - Академию Федеральной службы безопасности (ФСБ) РФ.
С 1987 г. служил в органах госбезопасности СССР и РФ.
По информации газеты "Коммерсант", был заместителем начальника управления "М" ФСБ РФ (контрразведывательное обеспечение правоохранительных органов), затем занимал руководящую должность в контрольной службе центрального аппарата ФСБ.
С июня 2011 г. по май 2017 г. – начальник управления ФСБ РФ по Республике Коми. В период работы Калашникова в Коми за коррупционные преступления были арестованы глава республики Вячеслав Гайзер вместе с группой региональных чиновников (2015), а также начальник УФСИН по Республике Коми Александр Протопопов (2016).
С мая 2017 г. по октябрь 2019 г. Александр Калашников занимал должность начальника управления ФСБ РФ по Красноярскому краю.
С 8 октября 2019 г. по 25 ноября 2021 г. - директор Федеральной службы исполнения наказаний. Сменил во главе ведомства Геннадия Корниенко. 25 ноября 2021 г. указом президента РФ освобожден от должности директора ФСИН, новым главой ведомства был назначен замглавы МВД Аркадий Гостев.
Сумма декларированного дохода за 2019 г. составила 5 млн 87 тыс. руб., супруги - 490 тыс. руб.
Генерал-лейтенант (2018).
Женат. Есть двое несовершеннолетних детей.