Родился 13 мая 1956 г. в г. Юрмале (Латвийская ССР, ныне Латвийская Республика) в семье электрика по уличному освещению.
В 1979 г. окончил факультет аэрофизики и космических исследований Московского физико-технического института (МФТИ, с 2009 г. вуз имеет категорию национального исследовательского университета) по специальности "динамика полета и управление летательными аппаратами". В 1979-1983 гг. заочно обучался в аспирантуре МФТИ, по окончании которой получил специальность "механика жидкостей, газа и плазмы".
В сентябре 1979 г. Александр Калери начал работать инженером 16-го отдела головного конструкторского бюро НПО "Энергия" (ныне Ракетно-космическая корпорация "Энергия" им. С. П. Королева; г. Королев, Московская обл.). Занимался исследованием аэродинамических нагрузок. Участвовал в разработке проектной и технической документации многомодульной орбитальной станции "Мир".
13 апреля 1984 г. был назначен кандидатом в космонавты-испытатели 291-го отдела (отряда космонавтов) НПО "Энергия". Прошел курс общекосмической подготовки в Центре подготовки космонавтов им. Ю. А. Гагарина и 28 ноября 1986 г. получил квалификацию "космонавт-испытатель".
С февраля 1987 г. был космонавтом-испытателем, с апреля 1997 г. - инструктором-космонавтом-испытателем 291-го отдела предприятия. Одновременно с марта 1994 г. по октябрь 2006 г. занимал должность заместителя начальника этого отдела. В октябре 2006 г. был назначен начальником летной службы (ныне летно-космический центр) РКК "Энергия" и параллельно занимал должность инструктора-космонавта-испытателя I класса.
Во время подготовки к полетам в космос Александр Калери освоил пилотирование учебно-тренировочного самолета Л-39 и налетал более 22 часов, совершил 14 прыжков с парашютом.
Его первый полет состоялся в марте - августе 1992 г. в качестве бортинженера корабля "Союз ТМ-14" и 11-й основной экспедиции на орбитальную станцию "Мир". В экипаж корабля входили также Александр Викторенко (командир) и участник экспедиции посещения, немец Клаус-Дитрих Фладе. Во время работы на "Мире" Александр Калери выполнил один выход в открытый космос.
С августа 1996 г. по март 1997 г. он был бортинженером "Союза ТМ-24" и 22-й основной экспедиции на "Мир". Стартовал в космос с Валерием Корзуном (командир экипажа) и француженкой Клоди Андре-Деэ (ныне Эньере), отправившейся на российскую станцию с экспедицией посещения. Также Александр Калери работал по программе "Мир - Шаттл" с экипажами двух краткосрочных экспедиций американского многоразового корабля Atlantis ("Атлантис") в ходе миссий STS-79 в сентябре 1996 г. и STS-81 в январе 1997 г. Во время своего второго полета Калери дважды выходил в открытый космос.
Третий полет состоялся в апреле - июне 2000 г. в качестве бортинженера корабля "Союз ТМ-30" и 28-й основной экспедиции на станцию "Мир" вместе с Сергеем Залетиным (командир экипажа). Александр Калери выполнил один выход в открытый космос. Эта экспедиция стала последней в эксплуатации "Мира", в марте 2001 г. космическая станция была управляемо сведена с орбиты и затоплена в Тихом океане.
Затем дважды работал на Международной космической станции (МКС). С октября 2003 г. по апрель 2004 г. был командиром корабля "Союз ТМА-3" и бортинженером 8-й основной экспедиции, выполнил один выход в открытый космос. Александр Калери стартовал в космос с американцем Майклом Фоэлом (командир МКС-8) и участником экспедиции посещения, астронавтом ЕКА, представителем Испании Педро Дуке. С октября 2010 г. по март 2011 г. был командиром корабля новой серии "Союз ТМА-М", командиром экспедиции МКС-25 и бортинженером МКС-26. В экипаж корабля входили также американец Скотт Келли (бортинженер МКС-25, командир МКС-26) и Олег Скрипочка (бортинженер МКС-25/26).
В общей сложности Александр Калери совершил пять космических полетов суммарной продолжительностью 769 дней 6 часов 35 минут и пять выходов в открытый космос (общее время - 23 часа 35 минут).
Герой РФ (1992). Награжден орденами "За заслуги перед Отечеством" II (2000), III (1997) и IV (2011) степеней, Дружбы (2005).
Лауреат премии правительства РФ им. Ю. А. Гагарина в области космической деятельности (2021, "за создание, внедрение, развитие и эксплуатацию системы управления полетом пилотируемых орбитальных станций" в составе группы сотрудников центра РКК "Энергия" ).
Кавалер французского ордена Почетного легиона (1997).
Среди наград космонавта - медаль Федерации космонавтики России, медали НАСА "За космический полет" и "За общественные заслуги".
Имеет почетное звание "Летчик-космонавт Российской Федерации" (1992).
Соавтор книги "Наблюдение Земли из космоса" (1997).