Родился 28 сентября 1963 г. в Ижевске Удмуртской АССР (ныне - Удмуртская Ресупблика, входит в состав РФ).
В 1986 г. окончил машиностроительный факультет Московского высшего технического училища им. Н. Э. Баумана (ныне - Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана) по специальности "робототехнические системы" (инженер-электромеханик) в 2003 г. - Международный институт менеджмента в Великобритании.
С 1986 по 2002 г. работал на Ижевском опытно-механическом заводе инженером-технологом, начальником бюро, заместителем главного технолога, главным технологом, заместитель главного инженера.
В 2002-2004 гг. занимал должность заместителя главного технолога - начальника отдела технологической подготовки производства технического центра Ростсельмаша (Ростов-на-Дону).
С 2004 по 2005 г. - первый заместитель генерального директора Морозовсксельмаша (г. Морозовск, Ростовская обл.).
В 2005-2006 гг. - первый заместитель генерального директора ООО "Завод КОНОРД" (Ростов-на-Дону; производство отопительного оборудования).
С 2006 по 2007 г. - генеральный директор ООО "Аутстаффинг и менедждмент" (Ростов-на-Дону).
В 2007-2013 гг. был генеральным директором, председателем правления Новосибирского авиационного производственного объединения им. В. П. Чкалова (ныне - Новосибирский авиационный завод им. В. П. Чкалова, филиал холдинга "Компания "Сухой"). Под его руководством на предприятии было осуществлено техническое и технологическое перевооружение, проведена переподготовка персонала, налажено серийное производство фронтового бомбардировщика Су-34 и выпуск составных частей фюзеляжа самолета Sukhoi Superjet 100 ("Сухой Суперджет 100"; SSJ100).
Одновременно, с мая 2011 г. являлся первым вице-президентом по производству акционерного общества "Гражданские самолеты Сухого" (Москва; дочерняя компания холдинга "Сухой") - директором филиала в Комсомольске-на-Амуре. Под его руководством был налажен выпуск агрегатов самолета SSJ100 в Новосибирске, а также конвейерная сборка лайнера в Комсомольске-на-Амуре.
С февраля 2013 г. по август 2014 г. занимал должность президента компании "Гражданские самолеты Сухого".
В 2014-2017 гг. возглавлял Государственный космический научно-производственный центр им. М. В. Хруничева (ГКНПЦ). С августа 2014 г. был и. о. генерального директора, с марта 2015 г. - гендиректором ГКНПЦ. Андрей Калиновский был соавтором утвержденной в декабре 2014 г. программы финансового и производственного оздоровления предприятия. В рамках реализации программы под его руководством на ГКНПЦ были внедрены современные методики контроля качества продукции, началась оптимизация производства.
С июня 2017 г. по 2018 г. был исполнительным директором по обеспечению качества и надежности госкорпорации "Роскосмос", которую возглавлял Игорь Комаров.
Женат, двое детей.